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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- bridgslam
- 21-02-2022 08:40:30
Bonjour,
Les 4 tangentes en 0 aux 4 cercles portant les segments curvilignes donnent les directions des 4 segments rectilignes dans le plan, si je comprends bien.
On obtient alors ( sauf erreur) un rectangle si les tangentes coïncident par groupe de 2 ( donnant deux paires de côtés parallèles ), et sont orthogonales entre elles (sinon on obtient juste un parallélogramme ).
A.
- bridgslam
- 21-02-2022 08:22:37
Bonjour,
OK merci à tous deux, c'est très intéressant.
Alain
- Bernard-maths
- 21-02-2022 07:34:24
Bonjour à tous !
Précision détaillée pour Alain : comme on a tracé les 4 demi-droites issues de E et passant par les 4 sommets du carré (ic, mais tout autre polygone aussi), on voit que les 2 demi-droite"devant" forment un plan contenant le segment [IJ], et le bout de trapèze curviligne du haut. Or dans l'inversion de pole E et de puissance 16; toute droite ne passant pas par le pole est transformée en un cercle passant (lui) par le pole E.
Ce qui veut dire que le bout de trapèze est un arc de cercle ! Idem pour les 3 autres ...
Ce procédé peut servir pour de l'anamorphose, permettant d'obtenir sur une sphère une image déformée de la "réalité", et réciproquement ...
Bernard-maths
- Michel Coste
- 20-02-2022 23:08:15
@Bernard : et tous les côtés du trapèze curviligne sont portés par des cercles passant par le centre de projectin.
- Michel Coste
- 20-02-2022 23:05:54
Comme ceci : un cercle C' dans le plan P tangent en O qui est l'image d'un cercle C sur la sphère S l' est-il comme intersection du plan P image de la sphère S avec la sphère-image du plan coupant la sphère S en C ?
Ça oui, bien sûr !
- Bernard-maths
- 20-02-2022 21:00:59
Bonsoir !
Comme je l'ai dit, voici une image montrant qu'un carré est l'image d'un trapèze curviligne de la sphère ... forme d'anamorphose !
Bernard-maths
- bridgslam
- 20-02-2022 19:18:43
Bonsoir,
Comme ceci : un cercle C' dans le plan P tangent en O qui est l'image d'un cercle C sur la sphère S l' est-il comme intersection du plan P image de la sphère S avec la sphère-image du plan coupant la sphère S en C ?
Merci
Alain
- Michel Coste
- 20-02-2022 18:48:04
Par-contre pour les intersections de plan-sphère et vice-versa ça marche comme ça ?
Comme quoi ?
- Michel Coste
- 20-02-2022 16:17:28
Regardons ce qui se passe pour l'inversion par rapport à la sphère unité. Elle envoie [tex]x[/tex] sur [tex]\dfrac{x}{\Vert x\Vert^2}[/tex].
La sphère de centre [tex]a[/tex] et de rayon [tex]R[/tex] a pour équation [tex]\Vert x\Vert^2-2a\cdot x+\Vert a\Vert^2-R^2=0[/tex] et son image par l'inversion a pour équation [tex]1-2a\cdot x+ \Vert x\Vert^2(\Vert a\Vert^2-R^2)=0[/tex].
Si [tex]\Vert a\Vert=R[/tex] (c.-à-d. si la sphère passe par l'origine), c'est bien l'équation d'un plan.
Sinon, c'est l'équation de la sphère de centre [tex]\dfrac{a}{\Vert a\Vert^2-R^2}[/tex] et de rayon [tex]\dfrac{R}{\left| \Vert a\Vert^2-R^2\right|}[/tex].
- bridgslam
- 20-02-2022 16:17:04
Bonjour,
Ok je commence mieux à comprendre, à la limite il peut s'agir de deux arcs de cercles dont les tangentes en P' sont orthogonales...
Merci.
Par-contre pour les intersections de plan-sphère et vice-versa ça marche comme ça ?
Alain
- Michel Coste
- 20-02-2022 15:49:20
Je pense aussi que comme l'inversion conserve les angles, un troisième point P quelconque d'un petit cercle de diamètre (M,N) sur la sphère, sera envoyé sur un point P' du plan formant un angle droit avec M' et N' , images de M et N par l'inversion. Donc au final on doit retrouver un cercle de diamètre M'N'
Non, ce raisonnement est faux car la préservation des angles par une inversion est locale, pas globale. Autre façon de dire ça : les droites PM et PN ont bien des images par l'inversion qui sont orthogonales en P', mais ces images ne sont pas les droites P'M' et P'N' !
- bridgslam
- 20-02-2022 15:42:47
Bonjour,
J'imagine en gros que si l'image par l'inversion d'un plan complet ( dont l'intersection avec la sphère correspond au cercle sur la-dite sphère) est justement une sphère, l' image du cercle sera pile à l'intersection du plan tangent en O à la sphère dont il est l'image, et de cette autre sphère, donc bien un cercle dans ce plan.
Je me base plus ou moins avec une analogie avec l'inversion plane où on a des propriétés analogues (ou supposées telles ?).
En somme une intersection sphère-plan est envoyée sur une intersection plan-sphère...
Je pense aussi que comme l'inversion conserve les angles, un troisième point P quelconque d'un petit cercle de diamètre (M,N) sur la sphère, sera envoyé sur un point P' du plan formant un angle droit avec M' et N' , images de M et N par l'inversion. Donc au final on doit retrouver un cercle de diamètre M'N'
A vérifier, je ne connais pas trop ces transformations, ce qui ne ne veut pas dire qu'elles ne m'intéressent pas, au contraire.
Apparemment ce type de transformations involutives joue vis à vis des sphères un rôle comparable à celui des réflexions pour les plans.
Alain
- Bernard-maths
- 20-02-2022 10:03:50
Bonjour à tous !
Oui, je comprends ...
Par contre je n'ai jamais eu à enseigner l'inversion. Mais je l'avais vue en Math Elem !
Je vais regarder sur quelques figures ce que ça donne sur la sphère de départ ...
Je pense à un lustre avec la sphère et des motifs dessus ; qu'est-ce ça donnerait sur le sol ou les murs ... ?
Bonne journée, :-)) Bernard-aths
- Michel Coste
- 19-02-2022 22:39:42
Il n'y a pas besoin de spécifier le centre de la sphère sécante ou alors, tant qu'à faire, autant prendre comme centre de la sphère sécante le sommet du cône qui tangente la sphère de départ (la sphère rouge sur le dessin GeoGebra) le long du cercle. Alors, comme l'inversion conserve les angles, elle transfomera la sphère sécante en la sphère orthogonale au plan gris image de la sphère rouge, dont l'équateur est l'image du cercle par l'inversion.
Je ne sais pas si ma description est très claire ...
- Bernard-maths
- 19-02-2022 20:11:22
Bonsoir à tous !
Je voulais préciser : considérons la sphère passant par le cercle (sur la sphère) et de centre sur la sphère. Celle de petit rayon, car il y en a une 2ème de centre opposé. Le cercle de la sphère est l'intersection de cette sphère et de la sphère de sommet E. Par l'inversion l'image de le sphère de sommet E est le plan, et l'image de la petite sphère est une sphère qui coupe le plan selon le cercle du plan ...
Il faudrait quelqu'un de courageux pour écrire les équations, et donc vérifier si ça marche bien comme ça ...
Moi, je verrai un peu plus tard !
Bernard-maths