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Bernard-maths · 19-02-2022 16:37:37

Bonjour Michel ...

j'ai fait un max d'erreurs sur ce coup ci ! En rectifiant la formule du volume, c'est OK.

Je remets le lien du programme GG arrangé, merci.

https://cjoint.com/doc/22_02/LBtpMLfP8u … -02-17.ggb

B-m

Michel Coste · 19-02-2022 15:27:27

J'ai déjà GeoGebra et je m'en sers comme il est possible de le voir plus haut, mais j'ai des problèmes avec la 3d (pas seulement avec GeoGebra d'ailleurs) que je ne peux pas régler sur mon installation. Inutile donc de charger ton programme. Mais qu'est-ce que ça apporterait pour le problème en question ? Une illustration, d'accord, mais rien de plus pour la résolution du problème.

je trouve 47.545 pour x0 = 2.10

Le graphe montre que c'est une valeur aberrante.

soit un alpha max calculé selon alpha ...

Qu'est-ce que ça veut dire ?

PS. Comme cela m'étonnait que GeoGebra fasse une telle erreur, j'ai tout de même regardé ta feuille. Et j'ai repéré une erreur dans le calcul du volume du tronc de pyramide : tu fais comme si ce volume était (aire de la petite base +aire de la grande base)/2 * hauteur. Tu confonds avec l'aire d'un trapèze, pour le volume d'un tronc de pyramide ça ne se passe pas comme ça. Black Jack a donné la formule correcte plus haut. Tu ne l'as pas vue ?

Bernard-maths · 19-02-2022 15:10:07

Bonjour à tous !

Certes, certes, mais la précision n'est qu'une question d'application ...

Si je choisis 5 décimales pour l'affaichage, je trouve 47.545 pour x0 = 2.10 ... il y a des problèmes de précision où ? Dans les calculs, les formules ?

En tout cas, comme vous aviez pris la voie calcul, du coup je me suis concentré sur la voie géométrique !

MAIS, avez-vous éssayé ? CAR on peut varier l'angle alpha, entre 45° et < 135°, soit un alpha max calculé selon alpha ...

On a alors pour alpha > 90° des tronc de cône inversés, petite base en bas ...

On peut dire à bridgslam qu'on s'est bien amusé avec son tit problème, merci !

Si vous voulez charger le programme, il faut d'abord installer GeoGebra (moi je préconise la version 5), puis ouvrir le fichier téléchargé.

Bernard-maths

Michel Coste · 19-02-2022 14:46:35

Bonne fin de semaine !

La résolution graphique, c'est très joli mais pas très précis. J'ai déjà donné plus haut les valeurs exactes pour le maximum de volume, et pour C=10 on arrive à un volume maximal d'à peu près 47.1316 pour x=2.0574. On peut comparer avec le 47.5 pour x=2.13 trouvé par Bernard sur le graphe du volume en fonction de x :

Bernard-maths · 18-02-2022 18:11:28

Bonsoir à tous !

Et à Hum ... hum Michel Coste !

On peut dire que ces dernir=ers temps j'accumule les erreurs de calculs élémentaires ! Mais j'arrive à mes fins, et je vais vous proposer un "chef-d'oeuvre" de GeoGebra, avec quelques défauts qu'il faudra arranger ... plus tard !!!

J’ai construit une figure avec GeoGebra 5, en partant d’un carré ABCD de côté c = 10. En partant de A(c/2,-c/2) … les 2 figures à plat (2D) et en perspective (3D) ci-dessous !

A la distance x0, (pour ne pas utiliser x) variable, de chaque sommet on place 8 points sur les côtés, E à E3, G à G3, et 4 autres F à F3, de telle sorte que les 4 quadrilatères (bleus) aient en E et G des angles égaux à alpha = 60°.
On a tracé le carré FF1F2F3, et avec les 4 trapèzes sur les bords, on a le patron, sans couvercle, d’un tronc de cône !

Sur ce dessin il y a 3 curseurs : l’un pour la variable x0, variable de 0 à c/2, et l’autre pour l’angle variable alpha, variable de 45° à 135° … max, mais selon x0. Enfin le 3ème pou régler l'angle de rabattage des côtés vers le chapeau ! Enfin il y a une flèche rouge qui indique le volume du tronc de cône, à multiplier par 10, car problème d'unité et de longueur ...

Le carré vert est le chapeau rajouté lorsque les 4 trapèzes sont pliés en position de tronc de cône. Il se situe à une hauteur hpyr représentée par le segment [II0] (- : ih ih c’est nul :-), I étant la projection de I0 sur (ABCD), et aussi le 4ème sommet du carré AEIG.
Le côté [IE] recoupe le carré de base FF1F2F3 en M. Ainsi la longueur ME est l’apothème a du tronc de cône !
Coordonnées de F : la droite(EF) passe par E et inclinée de l’angle (AEF) = alpha … et F est sur la diagonale (AC) …
(EF) : y + c/2 = tan(alpha) * (x – c/2 + x0) ; et (AC) : y = -x … d’où a= x0 tan(alpha) / (1 + tan(alpha)) !
Sur la figure 3D, on a : a = ME = MI0 ; MI = (x0 – a), et donc hpyr² = a² - (x0 – a)² …
On en déduit finalement que : hpyr = x0 Racine((tan(alpha) - 1)/(tan(alpha) + 1)).

Et le volume Vol = hpyr * ( (c - 2 x0)² + (c - 2 a)² ) /2 = k* x0 * ( x0² + k' x0 + k''), ave k > 0 ... donc cette courbe du 3ème degré passe par l'origine en croissant, et donc passe par un seul maximum après !!!

Je vais donc ici vous proposer une résolution graphiquee du volume maximal ! D'abord on choisit l'angle alpha (60° sur la figure), puis on fait varier x0 sur le curseur, on voit la flèche rouge ddu Volume qui change de taille. Evidement, on s'arrête sur x0 qui donne le volume max ! Sur la figure x0 = 2.13 pour V = 47.5 = 4.75 * 10 !

Voilà ce que j'ai à vous proposer. Bien sur si vous chargez le programme GeoGebra, ce sera plus amusant !

Je vais rajouter plus tard quelques compléments ... si vous avez des questions ... hum hum ou des remarques ...

Voici le programme, dites-moi si ça marche !??? Merci pour l'info.

https://cjoint.com/doc/22_02/LBssjvld6F … -02-17.ggb

Bernard-maths

Michel Coste · 17-02-2022 14:43:28

Un calcul dans SageMath et le résultat :

# variables

C,x = var("C,x")

# côté du carré de base

B = C-2*sqrt(3)/(1+sqrt(3))*x

# côté du carré au sommet

S = C-2*x

# hauteur du tronc de pyramide

H = sqrt(2)/(1+sqrt(3))*x

# volume du tronc de pyramide

V = H*(B^2+B*S+S^2)/3

# dérivée du volume par rapport à x

der = diff(V,x)

# racines en x de la dérivée

sols = solve(der==0,x)

# valeurs critiques du volume et valeurs correspondantes de x

volcrits = [V.subs(x=s.rhs()) for s in sols]

print("valeurs critiques du volume : {}".\

      format([round(v/C^3,5)*C^3 for v in volcrits]))

print("valeurs correspondantes de x : {}".\

     format([round(s.rhs()/C,5)*C for s in sols]))

print("valeur exacte du x donnant le volume maximal :\n",factor(sols[0].rhs()))

valeurs critiques du volume : [0.04713*C^3, 0.0051*C^3]
valeurs correspondantes de x : [0.20574*C, 0.59684*C]
valeur exacte du x donnant le volume maximal :
-1/2*C*(sqrt(2)*sqrt(5*sqrt(3) + 9) - 3*sqrt(3) - 7)/(3*sqrt(3) + 10)

bridgslam · 17-02-2022 10:07:00

Bonjour,

En reprenant les calculs, je souscris aussi pour la hauteur à celle de Black Jack et Michel Coste.
Les dimensions de la figure ( 2 bases et hauteur ) sont donc normalement bien celles fournies.

Alain

bridgslam · 17-02-2022 08:48:57

Bonjour,

avec l'écart (grande base - petite base) /2 , j'avais calculé ( Pythagore 2 fois , dans le plan horizontal facile, puis vertical ensuite pour avoir la hauteur du tronc.
J'ai dû faire une erreur quelque part. Je reprendrais sans doute ce soir pour vérifier avec celle de Michel.

Alain

Michel Coste · 16-02-2022 23:08:40

Une image :

Michel Coste · 16-02-2022 22:51:36

Hum hum ... Ça ne va pas du tout, ce que vous écrivez !

Quand on replie les trapèzes sur les bords pour former un tronc de pyramide, le carré du haut a évidemment un côté de [tex]C-2x[/tex] et la hauteur du tronc de pyramide est [tex]\dfrac{x\sqrt2}{1+\sqrt3}[/tex]. Sur ces points-là, Black Jack ne s'était pas trompé.

Bernard-maths · 16-02-2022 20:06:35

Bonsoir maintenant !

Avec ma simulation GeoGebra, je ne trouve qu'un maximum, celui que j'ai donné. Bien sur on peut faire des calculs ... Je trouve que les panneaux obliques sont inclinés de 125°,2, et que ça ne change pas en variant x ...

Par contre je peux régler l'angle que je veux (et qques adaptations), et j'aurai le résultat (approché) aussi !

J'y réfléchis ... Mais (à priori) l'angle ne peut varier que de 45° à 90° ... (sauf si on veut s'amuser ...) !

B-m

bridgslam · 16-02-2022 19:31:32

Bonsoir,

Pour la grande base, la valeur b du côté fournie par Michel correspond à la mienne.
Pour la base plus petite, $b' = b - 2x\sqrt{3}/(3+\sqrt{3}) $
Pour la hauteur entre elles j'ai $ H = x \sqrt{3} / ( 3 + \sqrt{3})$.

Il reste à prendre son courage à deux mains pour la suite... élever b et b' au carré, et utiliser la formule du volume d'un tronc de pyramide en utilisant les 2 aires et H.
Enfin maximiser (possible puisque la figure est contenue dans la pyramide où on ne touche à rien du tout - de base c : rien ne dit qu'il y a une seule solution a priori)

La marge est trop étroite dans ce papier pour détailler le calcul final ( farce à la Pierre De Fermat ).
Je ne pensais pas au début que cela allait être si pénible...
Au lieur de 60° j'aurai dû choisir 90 ° ça aurait été plus rapide...

Alain

Bernard-maths · 16-02-2022 19:06:47

Re-hello !

oui, je me suis mélangé les pédales ! Je trouve environ x = 0,42 c, et V = 0,013 c³ !!!???

On n'est pas d'accord ?

B-m

Michel Coste · 16-02-2022 18:31:26

Le volume obtenu pour [tex]x=C/2[/tex] est à peu près [tex]0.01156\,C^3[/tex], qui est bien en-dessous du maximum qui est à peu près [tex]0.04713\,C^3[/tex].

Bernard-maths · 16-02-2022 18:30:33

Hello !

Ah !!! ??? J'ai pourtant monté une manipulation sur GeoGebra, et ça me donne x = c/2 !???

Je vais reprendre mes calculs, une tit erreur s'est glissée en douce ?

B-m

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