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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 15-12-2021 22:25:31
Bonsoir Werner,
Bonjour tout le monde, je cherche à démontrer que les solutions de l'équation différentielle d'ordre 2 : y" + ay' + by = 0 sont de la forme Ae^r1t + Be^r2t avec r1 et r2 des solutions de l'équation x2 + ax + b = 0
Ca paraît peu précis... voire faux pour certains couples (a,b).
g(t)=e^r1t et h(t)=Be^r2t sont des solutions évidentes.
Veux tu dire que les fonctions $t \mapsto g(t)$ et $t \mapsto h(t)$ sont exactement toutes les solutions cherchées?
- Paco del Rey
- 15-12-2021 21:57:44
Bonsoir Franck.
Il faut dans un premier temps supposer \(r_1 \neq r_2\).
Ensuite tu effectues un changement de fonction inconnue \(z(t)=y(t)\exp(-r_1t)\) pour te ramener à une équation du premier ordre en \(z'\).
D'après ce que laisse suggérer ton message, tu cherches des solutions réelles. Il y a donc un peu de travail lorsque \( r_1 \notin \mathbb R\).
Paco.
- Werner Franck
- 15-12-2021 20:55:28
Bonjour tout le monde, je cherche à démontrer que les solutions de l'équation différentielle d'ordre 2 y" + ay' + by = 0 sont de la forme Ae^r1t + Be^r2t avec r1 et r2 des solutions de l'équation x2 + ax + b = 0.
g(t)=e^r1t et h(t)=Be^r2t sont des solutions évidentes. On peut considérer un R-ev E tel que E = {fonctions f, f" + af' +bf = 0 }. Alors g et h sont deux vecteurs non colinéaires de E. En démontrant que E est de dimensions 2, alors vect(g,h) = E et c'est gagné. Le problème, c'est que je n'arrive pas à montrer que E est de dimension 2. Pourriez-vous m'aider ?
Bien cordialement,