Forum de mathématiques - Bibm@th.net

C'est ma prof qui me demande de faire la limite.
Au pire, je vais essayer de lui demander plus d'informations pour que ça soit claire.

Merci en tout cas de m'avoir aidé. C'est très gentil de votre part.

Bonjour,

J'ai beau relire ton énoncé, je ne vois pas où il est écrit que tu doives donner une réponse numérique...  Est-ce cette fin de phrase qui te fait penser ça :
(...) ) où k_1 et k_2 sont deux nombres qui sont calculés grâce à la connaissance de l’accroissement et la mortalité des bactéries. ?

D'ailleurs je ne vois pas non plus où dans cet énoncé il est demandé de calculer $\lim\limits_{t\to +\infty} b(t)$, je dirais même plus, je ne vois pas de question du tout.
Il est simplement écrit :
Cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants mais elle n’est pas linéaire (il y a un carré) donc on doit pour la résoudre envisager un changement d’inconnue et poser f(t) = 1/b(t)."
ce qui n'est pas une question.
Admettons que ce soit une invitation à ce calcul.
Mais on ne parle pas de limite.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_de_Verhulst
https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/co … rhulst.pdf
Ci dessus, il y a une partie application numérique : chez toi, je n'en vois pas.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … (Verhulst)

BlackJack avait l'air de connaître ce modèle de Verhulst...

@++

Re,

Bon, ok...

Mouais... Je ne vois pas de $x$ dans ce que tu as fait.

Et il est où ce nombre que tu dois donner ?

@+

Bonjour,

En résolvant  b’(t) = k_1* b(t) + k_2 *b^2(t) avec la condition initiale b(0) = 1, je trouve :

[tex]b(t) = \frac{1}{\frac{k_1+k_2}{k_1}.e^{-k_1*t} - \frac{k_2}{k_1}}[/tex]

... qui est bien ce que tu as proposé si on tient compte de la condition initiale b(0) = 1 pour calculer la valeur de k dans l'expression qui tu donnes.

Dans le modèle de Verhulst, mis sous la forme que tu donnes (qui n'est pas la plus courante), k1 est une constante positive et k2 est une constante négative.

k1.b(t) étant le taux de natalité en fonction de la population b
-k2.b(t) étant le taux de mortalité en fonction de la population b

On peut poser k1/k2 = -K (avec la relation que tu as employée) et on arrive alors à :

[tex]b(t) = \frac{1}{(1-\frac{1}{K})*e^{-k_1*t} + \frac{1}{K}}[/tex]

[tex]b(t) = \frac{K}{(K-1).e^{-k_1*t} + 1}[/tex]

K est la valeur de la population atteinte en temps long (en partant d'un seul individu en t = 0)

Pour trouver des valeurs numériques "plausibles" pour k1 et k2, il faut faire le problème "à l'envers", c'est à dire estimer une valeur plausible de population finale (en temps long), par exemple 10^6 ...

Donc alors K = 10^6 et k1/k2 = - 10^6 (avec k1 > 0 et k2 < 0)

La valeur de k1 peut être estimée via une constante de temps "plausible" pour tendre vers la population stabilisée (tau = 1/k1)

...

Sauf déconnade de ma part.

Rebonjour,
Voici mon énoncé de Grand Oral :
"J’aurais voulu travailler sur les modèles mathématiques qui prévoient les impacts du réchauffement climatique mais les notions mises en jeu dépassent le programme. Je me suis donc intéressée à la modélisation de l’évolution d’une population de bactéries dont la croissance et la mortalité dépendent des conditions de température et de ressources notamment. Ces modèles pouvant être validés par des expériences en laboratoire.

Imaginons donc une populations de bactéries comprenant 1 individu à l’instant initial et notons b(t) la fonction donnant le nombre de bactéries à l’instant t.

La fonction b est d’après le modèle de Verhulst est solution de l’équation différentielle dite logistique du type b’(t) = k_1* b(t) + k_2 *b^2(t) où k_1 et k_2 sont deux nombres qui sont calculés grâce à la connaissance de l’accroissement et la mortalité des bactéries.

Cette équation différentielle du premier ordre et à coefficients constants mais elle n’est pas linéaire (il y a un carré) donc on doit pour la résoudre envisager un changement d’inconnue et poser f(t) = 1/b(t)."

Et c'est bien b(t) mais le x apparaît avec l'équation différentielle. Si vous voulez, vous pouvez me contacter par email pour que je puisse vous envoyer mes calculs en image car je ne peux pas inclure d'image ici.

Re,
En fait, je sais que la limite de b(t) = -k_2/k_1 mais pour mon Grand Oral il faut que je donne un nombre. Vers quoi tent b(t). Et c'est là que je bloque car je ne comprends pas ...

En fait j'ai reçu un mail pour me dire que je n'avais pas posté mon message correctement du coup j'ai préféré le refaire. Désolé ...

Bien cordialement.

1. Oui c'est exactement ça.
2. En effet, ce n'est pas un x mais un t.
3. Oui, c'est quand x tend vers +oo.