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Bonjour à tous,

Dans toutes ces questions probabilistes il faut comme le dit bien Fred être vigilant sur ce que sont les épreuves, en somme ( expérimentalement si on peut dire ) sur ce à quoi on s'intéresse.

-1 - lancé d'un dé :  l'ensemble des épreuves  considéré est E = { {1} , ...., {6}  }.
      L'ensemble de ces singletons ( dits évènements élémentaires ) constitue la base de ce qu'y peut t' intéresser, comme
     "Obtenir un 5" , "Obtenir un 1",   "Obtenir un chiffre pair", "obtenir 5 ou un chiffre pair "= "obtenir {2,4,5,6}"  etc
     Au pire tu pourras t'intéresser à [tex]2^6[/tex] évènements, ils constituent l'univers.
     C'est bien une notion ensembliste, d'où les accolades indispensables qui peuvent surprendre au premier abord.

     La probabilité de réaliser "sortir 5 sachant que 1 est sorti " ( nulle en fait ) est bien différente de "sortir 5".
     
-2 - lancé de deux dés ( successivement par exemple c'est parfait,  ou de 2 dés - moins bien, il ne seront jamais strictement identiques...l' un un peu pipé vis à vis de l'autre, des angles moins polis, rugosité , moins cubique etc ?)
      L'ensemble des épreuves est bien différent : { {1,1)}  ,{ (1,2) } ..., {(6,6)} }.
      Rien ne t'empêche de considérer  l'évènement { (1 ,1) , (1, 2 ) ,   ..., (1,6) } = "obtenir 1 au premier lancer", mais il y a bien deux dés même si la seconde valeur ne semble pas importante.
     La probabilité de " sortir 6 au second lancé sachant que 1 est sorti au premier  c'est la probabilité de { (1,6 ) } ( 1 cas favorable) ... mais attention... au sein de  { (1,1) , (1,2 ), .... ( 1 , 6 ) }  ( normalement équiprobables )  : 1/6
    C'est exactement la même que "sortir 6 au second lancé" -> { (... , 6 ) } 6 cas favorables , mais cette fois sur 36 possibilités ( tout est possible au premier lancé comme au second )

Dans le cas de deux évènement incompatibles ( ou quasi-incompatibles ) , ils seront toujours dépendants sauf si l'un a une probabilité nulle. [tex] P( A \cap B ) = 0 [/tex] sera différent de [tex]P(A)P(B)[/tex] .

Par-contre il faut se méfier de la causalité, l'influence... il y a pas mal d'exemples dans les bons bouquins de probabilités ( Neveu , Métivier , Fuchs-Foata .. )  où l'intuition est totalement prise en défaut.
L'indépendance est une notion subtile car en réalité ce sont les tribus engendrées qui le sont ( dans le cas de A,B ces tribus sont
simplement [tex] \{ \emptyset, A , \overline{A} , U \} [/tex] et pareil dans le cas de B.
C'est un bon exercice que de montrer d'ailleurs que si A et B sont indépendants, il en est de même pour A et le complémentaire de B etc.
L'indépendance concerne stricto sensu des parties de parties particulières ( dites "tribus" dans le jargon ).

Alain

Bonjour,

Je reviens vers vous car je me rends compte que j'ai du mal à comprendre l'independence entre deux evenements.

Dans un exercice que voici :
On lance un dé parfaitement equilibré à 6 faces.
Montrer que les evenements A="Obtenir 1" et B="Obtenir 5" ne sont pas indépendants

J'arrive à prouvé que P(AnB) est différent de P(A)*P(B) ce qui implique que A et B pas sont pas indépendants mais je ne comprends pas en quoi et pourquoi A est dépendant de B ou vis et versa ?
Si je lance un dé et que jobtient 1 au 1er lancer, "obtenir 5" à mon deuxième lancer ne dependra pas du fait davoir obtenu 1 au precedent?

Je suis perdue, MERCI davance pour votre aide !

Bonsoir,

par définition la probabilité d'un événement $A$ est $\frac {card(A)}{card(\Omega)}$ où $\Omega$ est l'univers ..ce qui devrait répondre à ton interrogation.
Par ailleurs où vois tu une probabilité d'un événement non vide qui vaut zéro dans ce qu'a écrit Brigdslam ?

Bonjour,

Ce sont des notions biens distinctes.

Pour le premier exemple, deux évènements de proba non nulles ne peuvent à la fois être incompatibles et indépendants:  la probabilité de l'intersection (vide) serait 0, égale au produit ( à cause de l'indépendance ) de deux réels non nuls. Si A ou B est de probabilité nulle (même non vide), et sont disjoints, on a bien les deux relation [tex]P(A \cap B)  = P(A)P(B)  [/tex] et [tex]A \cap B = \emptyset [/tex].
Tirage d'un réel au hasard: A= " tirer un nombre positif " , B= " tirer exactement  -1 ".

Pour le deuxième exemple, dépendance et compatibilité ( tirage de deux dés) :

A = "le premier dé est pair" , B ="le produit des deux dés est pair"

P(B|A) = 1 est différent de P(B) = 1 - 1/4 ( complémentaire de tirer deux impairs...) , soit 3/4 .
[tex]A \cap B = A [/tex] est non vide, donc A et B sont compatibles.

Pour le troisième exemple: tirage de deux dés successivement ( dé 1 puis dé 2 identifiés).
A = " avoir obtenu (1,...)"  B =" avoir obtenu (...,6)" .
Les évènements sont indépendants : P( (1,6) ) = 1/36 = P(A)P(B) et compatibles.

Pour le dernier cas, tirage d'un dé: A="obtenir 3" , B="obtenir 2", A et B sont incompatibles et non indépendants: [tex]P( A \cap B ) = P( \emptyset) = 0 [/tex] non égal à P(A)P(B) = 1/36.

Alain