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maths48 · 17-04-2021 14:06:30

Merci pour toutes ces précisions! Cet exo qui avait l'air obscure se révèle limpide maintenant!

Zebulor · 17-04-2021 10:23:08

re,
de symétrie c'est à dire l'égalité du th des accroissements finis est : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ où $c \in ]a;b[$ et non $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=f'(c)$ comme tu l'as écris.

maths48 a écrit :

Et ensuite pour le passage à la limite on obtient lim f'(c) à gauche et à droite et c'est à ce moment là qu'on utilise les hypothèses de l'exo c-à-d le taux d'accroissement à gauche et à droite vaut par conséquent l et donc comme le taux d'accroissement de f vaut l à gauche et à droite, elle est dérivable ? C'est bien ça ?

Oui !
Sans vouloir te donner la réponse directement :
Il faut encore en revenir aux définitions : le taux d'accroissement à droite de $x_0$ vaut $l$ ce qui se traduit par une égalité sur une limite : égalité (1)
Idem pour le taux d'accroissement à gauche : égalité (2)

Comme ils sont égaux tu peux en déduire une égalité (3) traduisant que $f$ est dérivable en $x_0$ parce que $l$ est fini. Et par définition cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$. D'où les valeurs de $l$ et de $c$...
Dans la dernière égalité (3) $h$ tend vers 0 par valeurs inférieures ou supérieures indifféremment.

Le contre exemple de la fonction valeur absolue $g$ en 0 est cité dans le lien que j'ai mis.. Dans ce cas $\lim\limits_{h \to 0} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ n'existe pas parce que même si $\lim\limits_{h \to {0-}} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ et $\lim\limits_{h \to {0+}} \frac {g(h)-g(0)}{h}$ existent et sont finies (-1 et 1) elles ne sont pas égales : le graphe de la fonction n'est pas lissé en $0$. D'où la non dérivabilité en ce point.

maths48 · 17-04-2021 09:05:25

Bonjour, merci de la correction que vous m'avez apporté !

Tout d'abord qu'est-ce que cela veut dire un problème de symétrie numérateur/dénominateur ?

Et ensuite pour le passage à la limite on obtient lim f'(c) à gauche et à droite et c'est à ce moment là qu'on utilise les hypothèses de l'exo c-à-d le taux d'accroissement à gauche et à droite vaut par conséquent l et donc comme le taux d'accroissement de f vaut l à gauche et à droite, elle est dérivable ? C'est bien ça ?

Ensuite il faut montrer que c = x0 ?

Merci encore

Zebulor · 17-04-2021 08:07:32

Bonjour,
ton idée est bonne mais je vois un problème de symétrie entre le numérateur et le dénominateur dans ton égalité du th des accroissements finis. J'écrirais plutôt $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(c)$ où $c \in ]x_0;x_0+h[$.
On peut ensuite distinguer les cas $h$ positif et négatif, et passer à la limite dans chacun des cas, en exploitant les définitions des dérivées de $f$ à gauche et à droite de $x_0$.
La continuité de la dérivée en $x_0$ permet de conclure.
Tu peux trouver des renseignements utiles sur ce lien :
https://www.math.univ-toulouse.fr/~jgil … _chap3.pdf

maths48 · 16-04-2021 19:25:26

Bonsoir, merci de votre réponse!

Effectivement j'ai mélangé deux formules... Le théorème des accroissements finis appliqué à f entre x0 et x0+h donne (f(x0) - f(x0+h))/h = f'(c) avec c appartenant à l'intervalle I dont fait également partie x0.
Sinon, je dois avouer que je ne vois pas encore quel rôle va jouer la continuité de la dérivée de f en x0...

Fred · 16-04-2021 07:36:25

Bonjour,

Effectivement, dans un exercice aussi théorique, il faut revenir à la définition de la dérivabilité en utilisant le taux d'accroissement.
Que donne le théorème des accroissements finis quand tu l'appliques à f entre $x_0$ et $x_0+h$. Attention! Ce n'est pas $f'(x_0)$ qui apparait. Et effectivement la continuité de la dérivée de $f$ en $x_0$ va jouer un rôle très important...

F

maths48 · 15-04-2021 20:09:35

Bonsoir,

J'ai une démonstration à faire mais je bloque complètement, je n'arrive à rien.

Voici l'énoncé :
Soient f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et x0 ∈ I. On suppose que f est dérivable sur I \ {x0} et que sa dérivée f' admet des limites à gauche et à droite en x0 qui sont égales et valent l. En utilisant le théorème des accroissements finis et en revenant à la définition de la dérivabilité, montrer que f est dérivable en x0 et que f'(x0) = l.

J'ai pensé à montrer que f est dérivable en montrant que son taux d'accroissement en x0 admet une limite finie. J'ai essayé cette formule avec x tend vers h mais comme on ne connaît pas la fonction ça ne mène à rien. J'ai écrit le TAF avec x et x0 ce qui est égal à f'(x0) mais je ne vois pas quoi en faire.
Ensuite, l'énoncé nous dit que la dérivée de f est continue en x0. Cela a-t-il un impact sur la façon dont on va montrer que f est dérivable ?

Merci d'avance que tu temps que vous m'accorderez et bonne soirée

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