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Je voudrais bien qu'on puisse montrer la non continuité de cette application car je n'y arrive pas du tout
fn(t) = (t^n)/n
||fn|| = 1/n --> 0 lorsque n --> +oo
Dfn(t) = t^(n-1)
||Dfn|| = 1 --> 1 lorsque n --> +oo
=> D opérateur linéaire non continu sur E
Bye

Soit V le R-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables de l'intervalle ouvert ]-1,1[ dans R et soit E le sous espace vectoriel de V constitué des fonctions polynômes. On définit des suites (Gp) (p appartenant a N et (Hp) d'éléments de E par:
  Gp(t)= somme de n=0 à p de [t^(n+1)]/(n+1)²
H0(t)=1; Hp(t)=t^p

1) Vérifier que l'on définit une norme sur E en posant pour f appartenant a E:
   ||f|| =somme de n=0 a linfini de (1/n!) |f^(n)(0)|

J'ai déjà répondu à cette question le problème ne vient pas de là mais après.....
Dans la suite E sera muni de cette norme

2) Montrer que pour tout n appartenant à N l'application linéaire suivante est continue et calculer sa norme:
        Dn : E ----->R
              f-----> f^(n) (0)       (c'est la dérivée n-ième de f en 0)
Montrer aussi que l'application linéaire D de E dans E  f----->f '    n'est pas continue

Je voudrais bien qu'on puisse montrer la non continuité de cette application car je n'y arrive pas du tout

3) *Montrer que la suite (Gp) est de Cauchy dans E
    *Montrer que (Gp) ne converge pas dans E  (petite indication: il faut considérer       
||Gp-G|| où G appartient à E et n tel que n est supérieur ou égal au degré de G
    * Que peut-on en déduire pour E?

Alors voilà cette troisième question me semble bizarre car si on montre que la suite est de Cauchy alors elle est convergente alors c'est pour ça que je ne comprend pas aussi pouvez vous m'éclairer et me faire la démonstration des questions auxquelles je ne comprend pas?merci beaucoup d'avance ça m'aidera pour la révision de mes partiels!!