Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Concernant la question de la généralisation, je pense qu'il doit être possible de montrer qu'une boule ouverte d'un $\mathbb{R}-$espace vectoriel normé n'est pas homéomorphe à une boule fermée (en construisant une bijection continue de $[0,1] \to  [0,1[$, ce qui serait une contradiction).

Pour des topologies d'un espace métrique quelconque, je ne pense pas que ce soit faisable (il existe je crois des exemples de distances pour lesquels tous les ouverts sont également fermés).

[EDIT]
Il faut que j'y repense un peu plus, je crois que l'exemple que j'avais en tête ne marche pas bien.

[EDIT2]
Je pense que ça marche. On se donne donc une boule ouverte $B(0,1)$ et on suppose qu'elle est homéomorphe à $\overline{B(0,1)}$ et on note $\varphi$ la bijection continue entre ces deux parties. On considère un vecteur $a$ non nul quelconque On construit alors la fonction $f: [0,1[ \to [0,1]$ par $f(\lambda)=\| \varphi(\lambda\dfrac{a}{\|a\|})\|$ et on peut montrer qu'elle est bijective et de par sa définition continue.

Je ne suis pas sûr d'avoir compris parfaitement ta question, mais je pense que la réponse est non.
Prends par exemple $E=]0,1/2]\cup]1,2[$, muni de la distance usuelle (valeur absolue).
Prends $U=]0,1/2]$ et $V=]1,3/2]$. Alors $U$ et $V$ sont clairement homéomorphes, mais $U$ est un ouvert relatif de $E$ alors que $V$ ne l'est pas.

F.

J'entends bien ce que tu dis mais cela ne répond pas à ma question et mes précédents messages étaient juste des exemples en lien avec le message de Fred. Voici comment il faut comprendre ma question : On peut démontrer que deux intervalles ouverts de R (munis de la topologie induite) sont homéomorphes mais qu'un intervalle fermé n'est pas homéomorphe à un intervalle ouvert --> Dans quelle mesure peut-on généraliser ce résultat ?

Bonsoir,
Je pense que tu changes sans t'en rendre compte de topologie.
Si tu considère une fonction $f: E \to F$ et que tu dis qu'elle est continue, cela sous entend que chacun des ensembles $E$ et $F$ est muni de sa topologie. Si maintenant tu considères une partie $K \subset E$ et que tu considère la restriction $f|_K$ de $f$ à $K$, alors, quand on dit qu'elle est continue, c'est par rapport à la topologie induite sur $K$ !
L'image réciproque d'un ouvert de $F$ par $f|_K$ est un ouvert de la topologie induite et non d'origine.

Par exemple,
si f:]-10,10[->[-1,1] est la fonction sinus, f est continue mais l'image réciproque du fermé [-1,1] de R est ]-10,10[ qui n'est pas un fermé de R, mais c'est bien un fermé de lui même.

Bonjour,

  La propriété que tu énonces est claire, car l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert!

F.