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yanlou · 31-12-2016 13:40:39

C'est très bien clair , merci beaucoup

Yassine · 31-12-2016 09:43:13

Donc, tu cherches $a$ et $b$ tels que $\forall n \ge 2, \dfrac{2}{n^2-1}=\dfrac{a}{n-1}+\dfrac{b}{n+1}$.
Tu dis, je connais la décomposition en élément simple, donc, tu "transportes" cette équation dans $\mathbb{R}$ et tu cherche $a'$ et $b'$ tels que
$\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{1,-1\}, \dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{a'}{x-1}+\dfrac{b'}{x+1}$
Tu trouves $a'$ et $b'$ par la méthode que tu décris. Cette solution marche pour $x=1,2$ ou $x=\pi$, mais elle marche également pour $x=2$ ou $x=4$.
Donc, tu poses $a=a'$ et $b=b'$ et tu auras résolu le problème initial.

yanlou · 30-12-2016 23:15:21

J ai la question suivante:

soit n un entier naturel supérieur ou égale à 2

Déterminer les réels a et b tels que 2/(n^2-1)=a/(n-1)+b/(n+1)

Réponse:

Je multiplie l équation par (n+1) , j obtiens 2/(n-1)=a*(n+1)/(n-1)+b

pour n=-1 on aura b=-1
pour n=1 on aura a=1

Ma question c'est est ce que j ai le droit de poser n=-1 et n=1 dans la méthode multiplicative malgré que je sais que n est supérieur ou égale à 2

Yassine · 30-12-2016 23:03:23

Je ne comprends pas trop ce que tu dis.
Quand tu obtiens les valeurs de $a$ et $b$ avec la méthode multiplicative, tu a l'identité $f(x)=\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+1}$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1,-1\}$.
C'est donc valable pour $n=2$, $3$ ou $4$,... qui contrairement à ce que tu dis sont aussi des réels : $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$.

yanlou · 30-12-2016 22:40:11

Merci pour votre retour.

le nombre n est un entier et non pas un réel

Si je remplace n par -1 ou par 1 , le n dans ce cas sera inférieur a 2 donc pour faire la décomposition je ne vais pas pouvoir appliquer la methode multiplicative mai plutôt la méthode par identification non??

Yassine · 30-12-2016 22:29:48

Bonsoir,
La décomposition que tu obtiens est une égalité qui est valable pour tous les réels (en dehors des pôles).
C'est en particulier valable pour les entiers naturels $n\ge 2$ (sous ensemble des réels).

yanlou · 30-12-2016 21:26:25

Bonjour ,
SVP quant est ce que je peux utiliser la méthode de multiplication pour faire la décomposition d'une fraction rationnelle

Exemple:

En general si je veux décomposer f(x)=2/x^2-1 je pose f(x)=a/(x-1)+b/(x+1)

pour trouver a je multiplie le tous par (x-1) et je remplace x par 1

Pour trouver b je multiplie le tous par (x+1) et je remplace x par -1

Mais si je dois décomposer 1/n^2-1 avec n un entier qui est supérieur ou égal à 2 , est ce que j ai le droit d appliquer cette méthode.

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