Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » Rationnels et irrationnels
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Nino89
- 25-08-2016 18:43:01
Ah d'accord, donc, [tex]\forall x \in \mathbb{Q}[/tex] : [tex]x = \dfrac{1}{2} ( x + \epsilon ) + \dfrac{1}{2} ( x - \epsilon ) \in \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex] car, [tex]\dfrac{1}{2} ( x + \epsilon ) , \dfrac{1}{2} ( x - \epsilon ) \in \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex]. :-)
Merci.
- Yassine
- 25-08-2016 18:18:08
Tu as déjà l'inclusion $\langle Irr(\mathbb{R}) \rangle\subset \mathbb{R}$. Tu sais aussi que $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup Irr(\mathbb{R})$.
Il faut donc juste établir que $\mathbb{Q} \subset \langle Irr(\mathbb{R}) \rangle$. C'est le sens de l'indication que je t'ai donnée : tu sais que $\langle Irr(\mathbb{R}) \rangle$ est stable par addition, que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationelle ...
- Nino89
- 25-08-2016 17:00:26
Pour montrer que [tex]\mathbb{R} \subseteq \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex], on choisit un réel [tex]x[/tex], et on établit que [tex]x = \displaystyle \sum_k q_k m_k[/tex] avec : [tex]k[/tex] fini, c'est ça ?
Alors :
Si [tex]x \in \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex], alors, c'est trivial.
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex], alors, je n'ai pas bien saisi l'indication que tu m'as fourni.
Any help ?
- Yassine
- 25-08-2016 13:20:25
Le premier te montre que ta tentative de trouver un morphisme de corps de $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ est vouée à l'échec (tu aurais alors construit une injection de $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ !)
Pour le dernier, dans le cas du groupe additif, tu considères pour $q \in \mathbb{Q}$ et $\varepsilon$ irrationnel, $\frac{q}{2} + \varepsilon$ et $\frac{q}{2} - \varepsilon$.
- Nino89
- 25-08-2016 13:07:00
Bonjour Yassine :
Tes deux premiers exercices sont facile à faire, puisque on les trouve dans tous les cours de théorie des corps.
Par contre, le troisième, je vois mal comment m'y prendre. As tu un petit indice à me proposer.
- Yassine
- 25-08-2016 08:41:14
Bonjour,
Petits exercices qui peuvent t'aider à affiner ton intuition :
- Montrer que tout morphisme de corps est injectif
- Montrer que tout corps infini de caractéristique nulle contient $\mathbb{Q}$ (à isomorphisme près).
- Montrer que $\langle Irr(\mathbb{R})\rangle = \mathbb{R}$
- Nino89
- 25-08-2016 00:30:11
Ah ouais, [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex] n'est pas un sous groupe de [tex]\mathbb{R}[/tex], j'ai oublié ...
et si on prend : [tex]\langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle[/tex] comme étant le plus petit sous groupe normal contenant [tex]\mathrm{Irr} ( \mathbb{R} )[/tex], est ce que : [tex]\mathbb{R} / \langle \mathrm{Irr} ( \mathbb{R} ) \rangle \ \simeq \mathbb{Q}[/tex] ?
Merci d'avance. :-)
- Nino89
- 25-08-2016 00:23:29
Mais, au moins, [tex]\varphi[/tex] est un morphisme de groupes additifs, non ? Donc, l'identification est valable, non ?
- Yassine
- 24-08-2016 17:29:14
Je ne vois pas.
Il faut revenir à l'origine du problème : ton intuition !
- Nino89
- 24-08-2016 15:16:20
Yassine :
Comment alors faire pour corriger ce qui ne marche pas. :-)
- Nino89
- 24-08-2016 15:13:54
Bonjour Ostap Bender :
On a :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} + ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( 0 ) = 0[/tex]
[tex]\varphi ( \sqrt{2} ) + \varphi ( - \sqrt{2} ) = 0 + 0 = 0[/tex]
Par conséquent :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} + ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( \sqrt{2} ) + \varphi ( - \sqrt{2} )[/tex]
D'autre part,
[tex]\varphi ( \sqrt{2} \times ( - \sqrt{2} ) ) = \varphi ( -2) = -2[/tex]
[tex]\varphi ( \sqrt{2} ) \times \varphi ( - \sqrt{2} ) = 0 \times 0 = 0[/tex]
Par conséquent :
[tex]\varphi ( \sqrt{2} \times ( - \sqrt{2} ) ) \neq \varphi ( \sqrt{2} ) \times \varphi ( - \sqrt{2} ) )[/tex]
Donc, il y'a un problème pour la multiplication que je n'arrive pas à accommoder pour que ça marche. :-)
- Yassine
- 24-08-2016 15:00:48
Je repond de mon téléphone
Si phi était un morphisme, son noyau serait un sous groupe, ce qui n'est clairement pas le cas des irrationnel
Edit
Ostap : je n'avais pas vu que tu avais répondu !
C'est aussi un angle d'attaque pour montrer une contradiction
- Ostap Bender
- 24-08-2016 14:56:25
Si [tex]x,y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = 0 = 0 + 0 = \varphi(x) + \varphi(y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = 0 = 0.0 = \varphi(x) . \varphi(y)[/tex].
Tu peux détailler dans le cas où [tex]x=\sqrt2[/tex] et [tex]y=-\sqrt2[/tex] ?
Ostap Bender
- Nino89
- 24-08-2016 13:51:31
Bonjour à vous deux Yassine et Freddy :
Non, je ne compte pas que les autres font le travail à ma place. Je vous ai montré où j'en suis :
J'ai défini [tex]\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}[/tex] de sorte que : [tex]\varphi (x) = x. \mathrm{1}_{ \mathbb{Q}} = \mathrm{id}_{ \mathbb{R} } (x). \mathrm{1}_{ \mathbb{Q} } [/tex]. C'est un morphisme d'anneaux :
en effet : [tex]\forall x,y \in \mathbb{R}[/tex] :
Si [tex]x,y \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = x+y = \varphi (x) + \varphi (y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = xy = \varphi(x). \varphi(y)[/tex].
Si [tex]x,y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]\varphi (x+y) = 0 = 0 + 0 = \varphi(x) + \varphi(y)[/tex] et [tex]\varphi (xy) = 0 = 0.0 = \varphi(x) . \varphi(y)[/tex].
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors, c'est là que ça pose problème :
Comment est définie : [tex]\varphi (x+y)[/tex] ?
Si [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]y \not \in \mathbb{Q}[/tex], alors : [tex]x+y \in \mathbb{Q}[/tex] ou bien [tex]x + y \not \in \mathbb{Q}[/tex] ?
Merci d'avance.
- Yassine
- 24-08-2016 09:20:55
Bonjour Freddy,
Je mets ça sur le compte de la fougue de la jeunesse.