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Il y a un sens qui me semble facile : le sens direct :
Si $x$ est un point critique de $V$, alors $\nabla V(x) = 0$. $V$ est non dégénéré en $x$ si son hessien est non nul. Donc, $Hess V(x) < 0$ implique que $V$ est non dégénéré, soit encore $Hess V(x) < \|\nabla V(x)\| \implies V$ est non dégénéré, soit encore, en prenant la contraposée
$V$ dégénéré $\implies Hess V(x) \geq \|\nabla V(x)\|$.
Je ne vois pas comment faire l'autre sens.

Cela suppose bien sûr que la notion de point critique dégénéré ou non dégénéré rejoint la définition du potentiel dégénéré ou non (un potentiel est non dégénéré s'il n'admet aucun point critique non dégénéré).

Que veut dire $\displaystyle ||\nabla V(x)||\le Hess V(x)$ ?
D'un côté de l'inégalité, tu as un réel positif ou nul (la norme d'un vecteur) et de l'autre une matrice !

Non, j'ai dit que la notation $q(x)$ était ambigüe.
On peut voir $q$ comme une fonction de deux variables $x \in \mathbb{R}^n$ et $u \in \mathbb{R}^n$, où $x$ est le point où on détermine la forme hessienne et $u$ le point où en l'évalue, ce serait donc une notation type $q(x,u) > ...$ où $q(x,u)=u^TH_x u$. Du coup, comme il n'y a qu'un seul quantificateur dans ta formule ($\forall x$), je ne sais pas à quelle variable il se réfère ni quel est la quantificateur sur l'autre variable.

On ne peut pas parce que c'est faux !! (oui, j'ai dit une bêtise)
$f(x,y)=x^2 - y^2$ s'annule sur une parabole et non une droite.

Je corrige ce que j'ai dit.
J'ai dit que la négation de $\forall x, \|\nabla V(x)\| \leq q(x)$ était équivalente à $q(x)$ définie négative (lorsque $\nabla V(x) = 0$ pour un point critique). Ce qui n'est pas vrai. La définition de définie négative est plutôt $\forall x,  x \neq 0 \implies q(x) < 0$. Formellement, la négation de la condition est $\exists x, \|\nabla V(x)\| > q(x)$.
Je pense que la confusion vient du fait qu'il manque une variable.
La forme hessienne en un point $a \in \mathbb{R}^n$ est la forme quadratique associée à la matrice $H_a= (\partial_{ij}V|_a)_{0\leq i,j \leq n}$ et définie par $q_a:\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ telle que $\forall u \in \mathbb{R}^n$, $q_a(u) = u^TH_a u$.

Quand tu écris $x$ dans tes condition, est-ce que c'est le point où en évalue les dérivées ($a$ dans mes définitions) et est-ce que c'est la point où on évalue la forme quadratique ($u$ dans mes définitions). C'est important pour savoir sur quoi porte le quantificateur.
Pour la qualité de 'définie positive' ou 'définie négative', les quantificateurs portent sur $u$. Pour la singularité et la dégénérescence d'un point, les quantificateurs portent sur $a$.

Donc, dégénéré serait équivalent à $\exists x$ critique et dégénéré.
On sait que si la forme hessienne en un point critique est définie négative, alors le point est non dégénéré, soit :
$\forall a \in \mathbb{R}^n \left[\left(\nabla V_a = 0 \wedge \left(\forall u \in \mathbb{R}^n, q_a(u) < 0\right)\right) \implies a \textrm{ critique non dégénéré} \right]$

[tex]q(x)[/tex] est la forme hessienne au point [tex] x\in\mathbb{R}^n[/tex]

je veux montrer que
V est  dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le q(x) \forall x\in \in\mathbb{R}^n[/tex]

Par exemple: pour [tex]V(x_1,x_2)=x_1^2x_2^2[/tex] (qui est dégénéré) on a
[tex]||\nabla V(x)||=2||x|| et q(x) =2||x||[/tex]  donc on a [tex]||\nabla V(x)||\le q(x) \forall x\in \in\mathbb{R}^n[/tex]

D'accord ,
La définition de "V potentiel dégénéré "  suivante est elle juste:
V potentiel dégénéré ssi [tex]||\nabla V(x)||\le q(x)
[/tex]

où [tex]||.||[/tex] designe la norme dans [tex]R^n[/tex] et [tex]q(x)[/tex] est la forme quadratique de la matrice Hessienne associée à [tex]V[/tex]

Donc on a un polynôme est dit dégénéré s'il tend vers 0 dans une direction à l'infini?