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La matrice Q est celle qui va permuter la première et la i-ème ligne, pour "remonter" un pivot non-nul en haut à gauche.

F.

Je ne sais pas exactement comment fonctionnent les algorithmes qui calculent la décomposition PLU, mais on peut s'y prendre autrement, en commençant par démontrer qu'il existe une matrice de permutation P telle que la matrice PA vérifie la condition pour avoir une factorisation LU. C'est je crois assez facile à démontrer par récurrence sur l'ordre de la matrice A. Algorithmiquement, on peut avoir la présentation suivante :

1.  Si n = 1, retourner [tex]P = (1), L = (1), U = (a_{1,1})[/tex].

2. Trouver un élément [tex]a_{i,1}[/tex] non nul dans la première colonne de [tex]A[/tex].

3. Définit une matrice de permutation [tex]Q[/tex] telle que [tex]Q_{1,i}=Q_{i,1}=1[/tex], [tex]q_{j,j} = 1, j\neq 1,i[/tex], et tous les autres éléments de [tex]Q[/tex] sont nuls.

4. On pose [tex]B=QA[/tex], de sorte que [tex]b_{1,1} = a_{i,1} \neq 0[/tex].

5. On applique la première étape de la décomposition LU à [tex]B[/tex] (sur la première colonne). Pour cela, on écrit
[tex] B=  \left(
\begin{array}
{cc}
b_{11} & r^T \\  c & B'
\end{array} \right).
[/tex]

6. On obtient ainsi la matrice [tex]B_1 = B' - c \cdot r^T / b_{11}[/tex] sur laquelle on peut calculer par récurrence la décomposition PLU : [tex]B_1 = P_1 L_1 U_1[/tex].

7. On pose :
[tex]P \; = \; Q^T \left(
\begin{array}
{cc}
1 & 0 \\  0 & P_1
\end{array}\right),

L=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
P_1^T c/b_{1,1}&L_1
\end{array}\right),
U=\left(\begin{array}{cc}
b_{1,1}&r^T\\
0&U_1
\end{array}\right)[/tex]
de sorte que l'on a bien [tex]A=PLU[/tex].

Effectivement, j'ai un peu de mal à la comprendre...

Bonjour,

  Est-ce que ce lien répond à ta question??

F.