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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Monfort
- 31-01-2016 17:37:44
Je te remercie beaucoup Ostap Bender
- Ostap Bender
- 31-01-2016 07:20:18
Avec mes notations précédentes.
Soit [tex]({u_n}_k)_k[/tex] une sous suite convergente de [tex](u_n)_n[/tex] Soit [tex]\ell[/tex] sa limite. On a [tex]\forall k\in{\mathbf N},\, {u_n}_k \leq {w_n}_k[/tex]. On en déduit que [tex]\ell \leq L[/tex].
Mutatis mutandis, on obtient [tex]L\leq\ell[/tex] et par suite [tex]\ell = L[/tex].
Donc toutes les sous-suites convergentes de [tex](u_n)_n[/tex] tendent vers la même limite. Donc [tex](u_n)_n[/tex] est convergente et sa limite est [tex]L[/tex].
Ostap Bender
- Monfort
- 30-01-2016 21:30:25
@ Ostap Bender
Je ne crois pas avoir bien compris la demonstration avec les limsup et liminf. Pourrais tu m'expliquer?
- Monfort
- 30-01-2016 16:07:20
ok je vois. J'ai poster une preuve sur http://www.les-mathematiques.net/phorum … ?4,1208531
Qu'est ce que tu en penses.
J'insiste sur le fait que cela dois être possible de prouver par l'absurde :)
- Ostap Bender
- 30-01-2016 15:05:55
Non ce n'est pas correct. La suite [tex](u_n)_n[/tex] peut parfaitement diverger. As-tu écrit la négation de la convergence vers [tex]L[/tex] avec les quantificateurs ?
Ostap Bender
- Monfort
- 30-01-2016 14:55:38
Merci Ostap Bender.
Je constate effectivement la non convergence n'est pas facile a manipuler (on apprend souvent pas les voix les plus difficiles :) ).
Une sous-question:
Est-il correct de considérer [tex]Un \rightarrow l' \neq l [/tex] et etudier 2 cas [tex]l<l'[/tex] et [tex]l>l'[/tex] puis de réaliser que pour n tres grand alors [tex]u_n \sim l'[/tex] et [tex]v_n \sim w_n \sim l[/tex]. On peu obtenir une contradiction ici en utilisant les inegualites...
- Ostap Bender
- 30-01-2016 14:31:45
Je tâtonne a gauche a droite
Même si cette démarche te semble naturelle, la négation de la convergence n'est pas aisée à manipuler...
Imaginons que [tex]\forall n\in{\mathbf N},\, v_n\leq u_n \leq w_n[/tex]. Tu en déduis que [tex]\limsup_{n\to\infty} u_n \leq \lim_{n\to\infty} v_n[/tex] et que [tex]\liminf_{n\to\infty} u_n \geq \lim_{n\to\infty} v_n[/tex]. La conclusion est alors immédiate.
Ostap Bender
- Monfort
- 30-01-2016 13:58:55
Bonjour,
Je me pose la question suivante sur le théorème d'encadrement (hopitale ou gendarme) - applique aux suites:
Nous avons une suite [tex]u_n[/tex] qui est encadrer par deux suites qui tous deux converges vers une limite L, alors [tex]u_n[/tex] converge vers L. La demonstration classique est d'encadrer [tex]u_n[/tex] a partir d'un certain rang par les deux autre suites qui elles meme sont encadrer (a partir d'un certain rang) par [tex]\epsilon - L[/tex] et [tex]\epsilon +L[/tex] d'ou la conclusion.
Cela dit, il me semble naturel de raisonner par l'absurde, car il est plus facile de "voir" l’impossibilité que ce soit autrement. D’où l'intuition de supposer que [tex]u_n[/tex] ne tend par vers L et essayer de trouver une contraction.
Comment trouver une contradiction est ma question? Je tâtonne a gauche a droite sans vraiment pouvoir conclure et cela m’inquiète! Cela devrait être plutôt direct pourtant?
Toute suggestion est bienvenue!
Merci.