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freddy · 01-02-2016 07:00:36

Salut,

à titre d'information, il faut savoir qu'on utilise couramment cette technique pour calculer l'espérance de vie avec une table de mortalité (qui est une loi de survie sous la forme de la fonction de répartition cumulée décroissante) à un âge donné.

Fred · 30-01-2016 17:40:02

Merci Freddy!

freddy · 30-01-2016 08:49:39

Fred a écrit :

C'est toi qui veut faire avec une intégration par parties, ou c'est demandé explicitement?
Parce que moi, je ferai cette preuve plutôt avec le théorème de Fubini, en commençant par remarquer que
[tex]1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt[/tex]
et donc
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}f(x)dx[/tex]
le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif.
Ceci ne fonctionne que si X admet une densité f, mais c'est adaptable à toute variable aléatoire positive.
F.

Salut Fred,

je pense qu'il manque un terme à la fin de la chaîne d'égalité.

Si j'ai bien suivi, tu as montré, comme prévu, que :
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt[/tex]

Idem dans ta dernière preuve, faut commencer par [tex]\int_0^x tf(t)dt =\cdots[/tex]

Cela étant, c'est plus facile de faire les finitions que de poser les fondations :-)

Fred · 29-01-2016 20:19:49

C'est un peu plus dur avec une intégration par parties.
On fixe [tex]x>0[/tex] et on a par intégration par parties :
[tex]\int_0^x tf(t)dt=x\big(1-F(x)\big)+\int_0^x \big(1-F(t)\big)dt[/tex].
On distingue alors deux cas :
* Soit il existe une suite [tex](x_k)[/tex] telle que [tex]x_k\big(1-F(x_k)\big)\to 0[/tex] et on passe à la limite dans l'égalité précédente le long de cette suite [tex](x_k)[/tex]
* Soit ce n'est pas vrai. Mais alors, il existe [tex]\delta>0, A>0[/tex] tel que, pour tout [tex]t>A[/tex], on a [tex]t\big(1-F(t)\big)\geq \delta[/tex] et donc [tex]1-F(t)\geq\delta/t[/tex]. Mais alors l'intégrale [tex]\int_0^x \big(1-F(t)\big)dt[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] si [tex]x\to+\infty[/tex]. Comme tout est positif, on a finalement en faisant tendre [tex]x[/tex] vers [tex]+\infty[/tex] dans l'égalité issue de l'intégration par parties :
[tex]E(X)=+\infty=\int_0^{+\infty}x\big(1-F(x)\big)[/tex]

F.

---------------------
J'ai fait une erreur de signes dans le calcul de l'intégrale, et donc ça ne fonctionne pas!

robinson T · 29-01-2016 16:46:11

Bonsoir Fred
Oui c est demande explicitement et moi même je veux bien savoir comment ça se démontre. J ai lu dans un doc aujourd hui ou eux aussi utilise une integration par partie et ils confirme que UV entre zero et infini donne zero sans dire comment ?

Fred · 29-01-2016 14:32:20

C'est toi qui veut faire avec une intégration par parties, ou c'est demandé explicitement?
Parce que moi, je ferai cette preuve plutôt avec le théorème de Fubini, en commençant par remarquer que
[tex]1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt[/tex]
et donc
[tex]\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dx[/tex]
le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif.

Ceci ne fonctionne que si X admet une densité f, mais c'est adaptable à toute variable aléatoire positive.

F.

robinson T · 29-01-2016 11:06:11

robinson T a écrit :

Bonjour j’espère que vous allez bien!!!
En fait le problème est de montrer par une intégration par partie que E(x)=intégrale de zero à infini de (1-F(x))dx
j'ai posé u=1-F(x)----> u'= -f(x); v'=1-----> v=x donc pour arriver au resultat il faut donc montrer que uv entre 0 et infini donne zero. c'est donc de la que viens le problème que j'ai posé hier

NB: x est une variable aléatoire nonnegative

Fred · 29-01-2016 10:28:59

Re-

Tu aurais dû nous donner les informations depuis le début, et tu devrais peut-être nous donner toutes les informations de ton énoncé!
Que sais-tu sur [tex]X[/tex]? Est-ce une variable aléatoire admettant une densité? est-elle positive? sait-on si son espérance existe????

L'exemple que donne Ostap Bender est justement un exemple de variable aléatoire n'admettant pas d'espérance.

F.

robinson T · 29-01-2016 10:24:25

Bonjour j’espère que vous allez bien!!!
En fait le problème est de montrer par une intégration par partie que E(x)=intégrale de zero à infini de (1-F(x))dx
j'ai posé u=1-F(x)----> u'= -f(x); v'=1-----> v=x donc pour arriver au resultat il faut donc montrer que uv entre 0 et infini donne zero. c'est donc de la que viens le problème que j'ai posé hier

robinson T · 29-01-2016 00:29:35

Ok je vois oui oui oui
s'il vous plait dans quel cas cette propriété peut elle être vrai ?

Fred · 28-01-2016 23:26:46

Je pense qu'elle veut te donner un exemple qui montre que la propriété que tu veux démontrer est fausse!!!

F.

robinson T · 28-01-2016 23:04:40

Bonsoir Ostap Bender
Pour vous dire vrai je ne vois pas encore ou vous voulez en-venir

Ostap Bender · 28-01-2016 19:43:19

Bonsoir Robinson.

Pour une loi de Cauchy, tu as [tex]F(x)=\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2+\arctan(x)\right)[/tex]. Que vaut [tex]\lim_{x\to+\infty}x(1-F(x))[/tex] ?

Ostap Bender

robinson T · 28-01-2016 18:36:19

Je voudrai savoir comment démontrer que limite quand x->+infini de x(1-F(x))=0 ou F est une fonction de repartition

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