Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Encore un lien : http://www.bibmath.net/ressources/index … finie.html

@+

Salut,

Que dit le cours ?
Adapté à ton cas, il dit ceci
un système de vecteurs [tex]\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}[/tex] de [tex]\mathbb{R}^3[/tex] est une famille génératrice (ou système générateur) ssi tout vecteur différent des 3 précédents peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs [tex]\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}[/tex]...
C'est général, mais ta question l'est aussi.
Ici, si le nombre de vecteurs de la famille est égal à 3, alors famille libre = base : je te renvoie aux ressources de BibMath :
http://www.bibmath.net/ressources/index … finie.html

@+

Salut,

Base = famille libre ET génératrice

@+

Bonsoir,

[tex]B = (\vec i,\vec j)[/tex] et [tex]B'=(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})[/tex] sont 2 bases de [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
B est la base canoniqueD'après ton énoncé la matrice P de passage de B à B' s'écrit avec les vecteurs colonnes [tex]\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}[/tex]  et [tex]\overrightarrow{u_2}=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}[/tex]

Tu vois bien que l'énoncé dit
*  [tex]\overrightarrow{u_2}=(-2,1)[/tex] qui s'écrit aussi [tex]\overrightarrow{u_1}=-2\vec i + \vec j[/tex] qui est équivalent à [tex]\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}-2  \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
* [tex]\overrightarrow{u_2}=(2,1)[/tex] qui s'écrit aussi  [tex]\overrightarrow{u_1}=2\vec i + \vec j[/tex] qui est équivalent à [tex]\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}2  \\ 1 \end{pmatrix}[/tex] 

Voilà pour [tex]P =\begin{pmatrix}-2  & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}[/tex]

On te demande là, la matrice de passage de B' à  B, qui est, elle, [tex]P^{-1}[/tex]
Et  [tex]P^{-1}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1  & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
Alors dans la base B' les vecteurs [tex]\vec i[/tex]  et [tex] \vec j[/tex] s'écrivent donc :
[tex]\vec i =\frac 1 4\begin{pmatrix}-1\\ 1 \end{pmatrix}=-\frac 1 4 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 \overrightarrow{u_2}[/tex]
et
[tex]\vec j =\frac 1 4\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac 1 2 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 \overrightarrow{u_2}[/tex]

Ça te va ?

@+

Re,

Tout d'abord une remarque, ce que j'ai noté [tex]\overrightarrow{v_1}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{v_2}[/tex] sur la foi de tes écritures sont en fait dans l'énoncé [tex]\overrightarrow{u_1}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{u_2}[/tex], c'est un détail sans importance concernant tes préoccupations, mais quand même...

L'énoncé considère un vecteur [tex]\vec v[/tex] sont les coordonnées dans l'ancienne base [tex](\vec i\;;\;\vec j)[/tex] sont [tex](x\;;\;y)[/tex].
Il demande d'écrire les coordonnées [tex](x'\;;\;y')[/tex] de [tex]\vec v[/tex] dans la nouvelle base [tex](\overrightarrow{u_1}\;;\; \overrightarrow{u_2})[/tex].
Avec [tex]P=\begin{pmatrix}-2 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}[/tex]
Voilà pour l'énoncé qu'il suffit de relire...

Sur la base de ce que tu écris, j'écrirais moi :
[tex]P^{-1}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1  & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1  & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}[/tex]

Là, je marche sur des œufs, parce que lorsque j'étais en activité, ça ne figurait pas à mon ordinaire, autant dire que mes souvenirs datent...
Même si, je peux me passer de matrice de ... passage.
[tex]\vec v=x\vec i + y\vec j=x\left(-\frac 1 4 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 \overrightarrow{u_2}\right)+y\left(\frac 1 2 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 \overrightarrow{u_2}\right) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \vec v=-\frac 1 4 x\overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 y\overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 x\overrightarrow{u_2}+\frac 1 2 y \overrightarrow{u_2}=\left(-\frac 1 4 x+\frac 1 2 y\right)\overrightarrow{u_1}+\left(\frac 1 4 x+\frac 1 2 y\right) \overrightarrow{u_2}[/tex]
Avec [tex]\vec v = x'\overrightarrow{u_1}+y'\overrightarrow{u_2}[/tex]
suivi d'Identification et je retombe sur mes pieds...

@+

Re,

@ymagnyma : Je n'avais pas vu ton post...

Ça demande 1/2 h de mise du pied à l'étrier pour en comprendre l'esprit, après ça va de mieux en mieux...
Mon post précédent sans la balises tex et /tex (lesdites balises s'obtenant par un clic sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils des messages) autour des formules :

[tex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
s'obtient via :
begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 end{pmatrix}

N-B :il devrait y avoir un \ devant  begin et un autre devant end
Bien que je n'entoure par la formule par les balises qui vont bien, si je mets les \ que j'ai supprimées, l'interpréteur m'écrit un système quand même...
Même chose pour la matrice...

@+

Bonjour,

[tex]\begin{cases}\overrightarrow{v_1}=-2\vec i + \vec j\\\overrightarrow{v_2}=2\vec i + \vec j\end{cases}[/tex]
J'additionne membre à membre :
[tex]\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=2\vec j[/tex]
d'où
[tex]\vec j = \frac 12 (\overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2})[/tex]

Je soustrais membre à membre :
[tex]\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}=-4\vec i[/tex]
D'où :
[tex]\vec i =-\frac 1 4 (\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2})[/tex]

D'où il ressort qu'il y a une erreur de calcul (étourderie) pour [tex]\vec j[/tex]

@+