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Salut,

pour mettre les choses au point, on a, pour [tex]k \in [1,\; n-2][/tex] :

[tex]\Pr((X_n=k) \cap P_n)=p\times \left( \Pr((X_{n-1}=k) \cap P_{n-1}) +  \Pr((X_{n-1}=k-1) \cap F_{n-1})\right)[/tex]

[tex]\Pr((X_n=k) \cap F_n)=(1-p) \times \left( \Pr((X_{n-1}=k) \cap F_{n-1}) +  \Pr((X_{n-1}=k-1) \cap P_{n-1})\right)[/tex]

permettant de calculer [tex]\Pr(X_n=k)[/tex],

ainsi que :

[tex]\Pr((X_n=0 )=p\times \Pr((X_{n-1}=0) \cap P_{n-1}) + (1-p)\times \Pr((X_{n-1}=0) \cap F_{n-1})[/tex]

[tex]\Pr((X_n=n-1 )=(1-p)\times \Pr((X_{n-1}=n-2) \cap P_{n-1}) + p\times \Pr((X_{n-1}=n-2) \cap F_{n-1})[/tex]

pour compléter la distribution de la va [tex]X_n[/tex].

Ensuite, si on suppose que [tex]p=\frac{1}{2}[/tex], on retrouve la formule du texte et on peut construire la fonction génératrice de [tex]X_n[/tex] (dans sa généralité ou pour le cas particulier).

Là, oui, bien sûr.

Pourrais tu poster tout le sujet de ton exo (en codant avec Latex, ce sera plus lisible- cf. bouton "insérer une équation"), ça peut en intéresser d'autres ? Merci par avance !

Salut,

non, du tout, car [tex]\Pr(P_n) = p[/tex], pas 1/2 !!!
Mais je pense ne pas être très loin de la démonstration de la formule, il suffit juste que j'arrive à un peu plus me concentrer !

Bonjour Freddy,

Comment pourrait-il se faire que il y ait Pile (p=99%), puis un changement et que ce ne soit pas Face ?     
L'énoncé est très clair : "On note Xn le nombre de fois où la pièce a changé de côté au cours de cette expérience."
On étudie donc l'évènement "changement de côté".
Lors d'un jet de pièce, il y a 4 possibilités
La première lettre est le jet précédent
PP  P=99% * 99%
FF  p=1% * 1%
PF p=99% * 1%
FP p=1% * 99%
Dans les 2 derniers cas, il y a changement et on vérifie bien que la probabilité est égale.
Le nombre de changement PF et FP ne sont pas "équiprobables" mais "égaux +/-1".
Xn est le nombre de fois que la pièce a changé de côté. A une unité près, elle est passée X/2 fois de Pile à Face et X/2 fois de Face à Pile.

@ Freddy,
Bonjour,
Si on part de Pile, si on se retrouve sur face au bout d'un certain temps, on est sur que le "changement de côté" est impair.
Par exemple (N+1) changements de Pile vers Face et N changements de Face vers Pile
Il est impossible d'avoir plus de changement de l'un vers l'autre que de l'autre vers l'un (à 1 près).
La variable étudié est un nombre de changement, il ne peut être que pair ou impair, donc une chance sur 2.
Dans la formule, le 1/2 sert à calculer la moyenne du complément à 1 de la somme des probabilités PP et FF.

Bonjour,
Quelque soit le déséquilibrage de la pièce, elle va changer de côté autant de fois dans le sens P->F que F->P.(Plus ou moins 1)
D'autre part, on ne s'intéresse qu'au lancé précédent
Soient 2 tirages successifs, il y a 4 possibilités
PP
PF ->changement type 1
FF
FP ->changement type 2
Total 100%
Ij suffit de dire que ces 2 types de changements on la même probabilité.

Salut,

  Je suis tout à fait d'accord avec Freddy, je ne vois pas non plus pourquoi il devrait y avoir un facteur 1/2 dans cette formule (ni d'ailleurs pourquoi on devrait admettre une formule semblable, qui se démontre facilement en écrivant qu'un événement est la réunion de deux événements disjoints).

Fred.

Bonsoir,

Je partirai de la façon suivante, en exprimant [tex] P( (X_n=k))[/tex] en fonction de [tex]P(X_{n-1}=k)[/tex] et de [tex]P(X_{n-1}=k-1)[/tex] en tenant compte de la relation que tu as écrit (et aussi sans doute de sa jumelle, [tex]P(X_n=k\textrm{ et }F_n)[/tex].

F.