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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Terces
- 19-07-2015 00:47:29
Bonjour tout le monde, voila, un jour avec des amis on s'est posé une question ( tres idiote et sans réel interet ) sous la forme d'une enigme. Et je n'ai jamais réussi a trouver la bonne réponse ^^
Voila, Imaginons qu'une fleche doit parcourir 100 metre pour allez de son point de départ au point d'arriver.
La flêche se lance et parcourt 10 metre, puis ensuite la moitier de cette distance, soit 5 metre, puis encore la moitier, soit 2.5, etc, etc...La question qu'on se posait, c'etait 1) est-ce que la flêche arriverais un jour a sa déstination ? ( je pense que oui, vu qu'il éxiste une infinité de nombre )
et surtout 2) Combien de fois faudrait-il diviser, pour que la flêche ai parcouru au moin 100 metre ?Merci de nous éclairer ^^
Salut, ce n'est pas parce qu'on ajoute tjs un nombre que on en arrive a une somme infinie^^
actuellement ta fleche va faire:
S=20/2 + 20/4 + 20/8 + 20/16 + ...
tu remarquera que 1/2 S ca fait 20/4 + 20/8 + 20/16 + ... soit S-20/2
donc 1/2 S = S-20/2
donc 1/2 S = 20/2
donc S = 20.
Voila le concepte en image pr que tu vois bien que même une somme infini de nombres(positifs biensur) ne donne pas forcément une quantité infinie:
ta fleche n'irais pas plus loin de 20 m en suivant ce raisonnement.
Pour ta question 2) et bien même une infinité de fois ne suffiraient donc pas.
- yoshi
- 14-01-2015 11:06:28
Salut,
Votre paradoxe est bien connu depuis des lustres (IVe siècle av. JC) jeté en pâture à ses collègues par le grec Zénon d'Elée :
<< Il est impossible d'aller d'un point à autre car avant d'atteindre ce but, il faut arriver au milieu de la route, puis atteindre le milieu du trajet qui reste à parcourir et ainsi de suite : comme il y a une infinité d'étapes à observer, on ne peut arriver au bout de son voyage. >>
Je prends une distance unité 1 et je suppose que la flèche aura déjà parcouru n+1 subdivisions...
Soit la somme :
[tex]S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac 1 2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)[/tex]
ce qui est (entre parenthèses) : "la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/2".
Que vaut cette somme lorsque n tend vers l'infini ?
D'abord : [tex]S = 1\times \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=2\times\left(1-\frac{1}{2^n}\right) [/tex]
Quand n tend vers l'infini, [tex]\frac{1}{2^n}[/tex] tend vers 0, et la somme vaut donc [tex]\frac 1 2\times 2 = 1[/tex]
Pas très satisfaisant quand même...
Le deuxième paradoxe (dans la même veine) le plus connu de Zénon est connu sous le nom de "Paradoxe d'Achille et la tortue" :
<< Achille, si vite qu'il courût, ne pourrait jamais rattraper une tortue si lente fût-elle, parce qu'une fois arrivé en un endroit où s'était tenue la tortue quelques instants auparavant, il 1ui resterait un certain chemin à parcourir pour la rattraper. >>
Qui dit paradoxe, dit forcément difficultés à voir ce qui ne va pas...
Là, en l'occurrence, on fait appel à la notion de suites, de limite, d'infini, toutes choses qui ne vont pas être simples à appréhender par le profane...
Pour des explications , je te propose d'aller jeter un œil sur le site de l'Association des professeurs de mathématiques où le sujet est traité :
http://www.apmep.fr/Achille-ne-rattrapera-jamais-la.
Le risque est que tu en reviennes avec plus de questions que de réponses...^_^
Mais alors, tu n'auras qu'à les poser ;-)
Ce site me paraît plus satisfaisant :
http://www.cll.qc.ca/Professeurs/Mathem … 0Zenon.pdf
@+
- Boschat
- 14-01-2015 00:19:24
Bonjour tout le monde, voila, un jour avec des amis on s'est posé une question ( tres idiote et sans réel interet ) sous la forme d'une enigme. Et je n'ai jamais réussi a trouver la bonne réponse ^^
Voila, Imaginons qu'une fleche doit parcourir 100 metre pour allez de son point de départ au point d'arriver.
La flêche se lance et parcourt 10 metre, puis ensuite la moitier de cette distance, soit 5 metre, puis encore la moitier, soit 2.5, etc, etc...
La question qu'on se posait, c'etait 1) est-ce que la flêche arriverais un jour a sa déstination ? ( je pense que oui, vu qu'il éxiste une infinité de nombre )
et surtout 2) Combien de fois faudrait-il diviser, pour que la flêche ai parcouru au moin 100 metre ?
Merci de nous éclairer ^^