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salut  Fred
pour la question a) si on demande de donner un exemple de sous espace invariant
pout je repondre comme suit:
on a pour tout n dans N* X_n=vect{e_n,e_n+1,…} est un sous espace invariant en effet
pour tout x dans X_n  on a      x=Σ_i>=n  α_i e_i alors T(x)=T(Σ_i>=n  α_i e_i) =Σ_i>=n  α_i  T(e_i)=Σ_i>=n  α_i e_i+1 ∈H_n
donc T(H_n)⊂H_n ce qui donne H_n est un sous espace invariant  pour tout n∈N*.ma reponse est elle juste . merci encore une fois.

bonjour Fred j'ai reflichit pour repondre a la question a) et voici ce que j'ai ecrit
soit X un sous espace invariant donc il exist n dan N telque en  ∈ X
on pose k=min{n|e_n ∈X}
on a X_k=vect{e_k,e_k+1,…}⊂ X  car si e_k∈ X alor e_n+k=Tⁿ(e_k)∈ X par definition de X
mais je ne peut pas demontrer l'autre inclusinon.mon idée est elle juste .si oui aidez moi s'il vous plait a la terminée.merci

bonjour Fred
la question a est posée  par notre prof telque elle est ecrite.pouvez vous m'aider car je suis vraiment bloqué .merci

bonjour pouvez vous s'il vous plait maidez a resoudre ce probleme:

Soit (e_k) une suite totale et orthonormale dans un Espace de Hilbert H séparables. et soit T : H → H définie en ek par: T(e_k) = e_{k + 1}. , k = 1, 2,..... linéairement et continuellement étendu à H.
a)Trouver les sous-espaces invariants.
b)montrer que T n'a pas de valeurs propres.
voici ce que j'ai pu faire:
a)on pose
X_n=vect{e_n,e_n+1,…}
on a chaque  X_n, n≥1 est un sous-espace invariant de T  car
mais je ne peut pas prouver que  ce sont les seuls sous-espaces invariants.
b)Il est clair que Ker (T) = {0}, c' est à dire 0 n' est pas une valeur propre de T. Supposons λ # 0
est une valeur propre de T. parsuite, Tx = λx pour certains x non nul. Alors,
0 = λx1
x1 = λx2
x2 = λx3
· · ·
EN Résolvant  le dernier système nous obtenons x = 0. Contradiction! Ainsi T n'a pas
de valeurs propres.
pouvez s'il vous plait m'aider
merci en avance