Forum de mathématiques - Bibm@th.net

RE,

Merci.
Je suis pourtant sûr à 99% que la méthode attendue par le prof est la tienne (plus classique, standard) : la mienne est due au fait que lorsque j'étais Lycéen, je me faisais un point d'honneur à essayer de passer à travers les mailles du filet... Tu vois, j'en ai gardé des séquelles...^_^
Ça avait un avantage : me pomper dessus était aux risques et périls du pompeur :-D

@+

Bonjour,

Ainsi donc, il a été probablement au dessus des forces de Braza de rouvrir une discussion en n'omettant pas Bonjour (Bonsoir, Salut...) Merci ou s'il vous plaît...
Le délai fixé est écoulé donc je rouvre la discussion et poste comme convenu les solutions.
Chris avait proposé - méthode certainement la plus simple - :
Remplacer la question [tex]\sqrt{3+\sqrt 5}+\sqrt{3-\sqrt 5} =? \sqrt{10}[/tex]
par [tex] \left[\left(\sqrt{3+\sqrt 5}\right)\left(\sqrt{3-\sqrt 5}\right)\right]^2 =? 10[/tex]
à partir du produit remarquable [tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex] en prenant [tex]a = \sqrt{3+\sqrt 5}[/tex]  et  [tex]b = \sqrt{3-\sqrt 5}[/tex]
Soit :
[tex] \left[\left(\sqrt{3+\sqrt 5}\right)+\left(\sqrt{3-\sqrt 5}\right)\right]^2 = \left(\sqrt{3+\sqrt 5}\right)^2+2\left(\sqrt{3+\sqrt 5}\right)\left(\sqrt{3-\sqrt 5}\right)+\left(\sqrt{3-\sqrt 5}\right)^2[/tex]
D'où
[tex]\left[\left(\sqrt{3+\sqrt 5}\right)+\left(\sqrt{3-\sqrt 5}\right)\right]^2 = 3+\sqrt 5 +2\sqrt{3^2- 5}+3-\sqrt 5 = 10[/tex]
Le double produit se trouvait être le double du produit remarquable (c+d)(c-d).

Quant à moi, j'avais remarqué depuis longtemps que ce genre d'écriture de racine sous une racine se ramenait très très souvent à écrire un carré sous le 1er radical.
[tex]\sqrt{3+\sqrt 5})+\sqrt{3-\sqrt 5} =\frac{\sqrt{2(3+\sqrt 5)}}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt{2(3-\sqrt 5)}}{\sqrt 2}[/tex]
Soit encore :
[tex]\sqrt{3+\sqrt 5}+\sqrt{3-\sqrt 5} =\frac{\sqrt{2(3+\sqrt 5)}}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt{2(3-\sqrt 5)}}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt{(1+\sqrt 5)^2}}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt{(1-\sqrt 5)^2}}{\sqrt 2}[/tex]
Là il faut faire attention [tex]1-\sqrt 5 < 0[/tex] donc la racine est [tex]\sqrt 5 - 1[/tex]
D'où :
[tex]\sqrt{3+\sqrt 5}+\sqrt{3-\sqrt 5} = \frac{1+\sqrt 5}{\sqrt 2}+\frac{\sqrt 5 -1}{\sqrt 2}=\frac{2\sqrt 5}{\sqrt 2}=\frac{2\sqrt 5 \times \sqrt 2}{(\sqrt 2)^2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}[/tex]

L'idée de procéder comme chris ne m'est pas venue :-(   : je me suis immédiatement dirigé sur la méthode exposée.
La force de l'habitude...
Comment cette idée peut-elle venir ?
En remarquant que : [tex]\left(a + \sqrt b\right)^2 = (a^2+b)+2a\sqrt b[/tex]
On voyait donc que b = 5 et donc que [tex]a^2+b>5[/tex]
D'autre part, il fallait le double produit : moyennant quoi, on s'aperçoit que la forme ad hoc est donc[tex] 6+2\sqrt 5 = \left(1+\sqrt 5\right)^2[/tex]
Ayant multiplié par 2, je devais diviser par 2 et j'ai choisi de mettre le dénominateur en dehors du radical, dénominateur qui est dans ce cas [tex]\sqrt 2[/tex] et non plus 2...
On aurait pu aussi laisser le 2 en dénominateur sous la racine.

Salut,

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

ps: la prochaine fois n'oublies pas le "bonjour" "bonsoir" "merci" ...

[EDIT]
Texte supprimé par mes soins...
Mon post de "Modérateur" (= flic du forum) était suffisamment clair : pas de réponse avant observation des règles de BibMath..
Il n'y avait donc rien d'autre à ajouter...
Désolé pour toi Chris : j'aurais pu moi aussi donner une piste (pas la même que toi d'ailleurs), je n'ai pas souhaité le faire ni qu'on le fasse...
J'aurais pu et dû fermer la discussion, mais j'avais voulu à laisser à notre ami une chance (tout en me demandant si quelqu'un n'allait passer outre) de montrer qu'il savait ne pas confondre impatience avec précipitation.
Maintenant s'il faut fermer la discussion, alors je la ferme...
Pour éviter tout problème c'est ce que ferai à l'avenir.
Dans 72 h, si Braza ne s'est pas remanifesté -comme c'est probable en pareil cas - je donnerai alors ta solution et la mienne.

     Yoshi
- Modérateur -

Demontrer que √(3+√5)+√(3-√4)=√10!?