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Une condition nécessaire pour qu'une série converge, est que son terme tende vers 0. Ici le terme général de sigma(n) pour n parcourant les entiers naturels, ne tend pas vers 0. Donc elle diverge grossièrement. La discussion est terminée à partir de là. de méme pour sigma(-1)^n. Mais pour étre plus précis, on peut prouver que la limite quand s tend vers 0+ sigma(1/n^(s-1)) tend justement vers -1/12. Mais comme il n'y a pas continuité en 0, point crucial!,comme limite uniforme de série de fonctions, il n'est pas licite d' intervertir signe somme et limite, ce qui donnerait sinon ce résultat abérrant. Le reste n'est que pure fantaisie.

Merci beaucoup !

Salut,

Je suis tombé il y a quelques jours sur cette vidéo où la personne démontre que 1+2+3+4+...=-1/12

Avec ce que je connais des séries, cela me semble impossible.
La démonstration passe notamment par [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n=\frac{1}{2}[/tex].
Et pour moi ça n'a aucun sens d'écrire une telle égalité puis que cette série diverge.

Mais ! Après quelques recherche, en fait [tex]\sum_{n=0}^{\infty}[/tex] converge bien, mais au sens de Cesaro, et donne bien [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Du coup, j'ai un doute. Peut-on étendre la notion de limite de série pour que cette démonstration soit vraie?
Existe-t-il vraiment un domaine où [tex]\sum_{n=0}^{\infty} n = -\frac{1}{12}[/tex]?