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jpp
12-10-2014 09:13:14

salut.

▼une solution

dans le problème n°2 la troupe carrée de 500m de côté se déplace de 500m en 4 phases a,b,c & d avec a+b+c+d=500

a , b , c & d  étant les distances parcourues par la troupe durant chacune de ces phases.

le messager peut très bien démarrer du sommet A , faire le tour du carré et finir en A. cela ne change rien au problème.

le carré ABCD  avec AB & CD perpendiculaires à la direction prise par la troupe

                    BC & DA parallèles  à la direction prise par la troupe.

  le rapport des vitesse [tex]\frac{V_m}{V_t}=x[/tex]

1) phases a et c
                    [tex]a = c [/tex] et [tex]a^2 = a^2.x^2 - 250000[/tex]

  alors [tex]a = c = \frac{500}{\sqrt{x^2-1}}[/tex]

2) phase b
                   [tex]b = \frac{500}{x-1}[/tex]

3) phase d
                   [tex]d = \frac{500}{x+1}[/tex]

si bien que la distance parcourue par la troupe est:

  [tex]a+b+c+d = 500 = \frac{2\times{500}}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{500}{x-1} + \frac{500}{x+1}[/tex]

ce qui donne l'équation suivante :
                                   [tex]\frac{-2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x+1+x-1-x^2+1}{x^2-1}=\frac{-x^2+2x+1}{x^2-1}[/tex]

on élève chaque membre au carré pour faire disparaitre les radicaux .

  [tex]4.(x^2-1)^2 = (x^2-1).(-x^2+2x+1)^2[/tex]

   [tex]4x^2-4 = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1[/tex]

donne l'équation finale:  [tex]x^4 - 4x^3 - 2x^2 + 4x + 5 = 0[/tex]


donne [tex] x \approx 4.181125 [/tex] la distance parcourue par le messager  est donc[tex] 4.181125 \times 500m \approx 2090.562 m[/tex]

tibo
11-10-2014 23:49:54

Re,
Pas besoin de rajouter ton histoire d'accélération. Ça doit être déjà suffisamment compliqué de considérer un cercle.
On pourrait même imaginer un version généralisé du problème en considérant un forme connexe décrite par une fonction f(x,y) et... Ou pas en fait... On va déjà tenter de le résoudre avec un carré ça sera déjà pas mal

amatheurs2
11-10-2014 21:20:41

Salut MES AMIS.
je viens d imaginer une troisieme variante plus difficile je crois. Une troupe en forme de cercle en mouvement uniformement accelere. Et le soldat qui fait le tour du cercle avec une acceleration constante ( en norme).

tibo
11-10-2014 20:30:13

Salut,
Merci Yoshi !

Je me permet de donner la réponse du problème 1, où du moins une résolution possible. totomm donne une très jolie résolution géométrique ici post #10.

▼ solution du problème 1

Avant d'attaquer la résolution du problème j'introduis quelques notations dont j'aurais besoin. Je note :
D, la distance totale parcourue par le messager (celle qu'on recherche)
T, le temps total de l'aller-retour du messager
d, la distance parcourue par l'armée durant l'aller du messager
t, le temps que met le messager à parcourir l'aller
VA, la vitesse de l'armée
VM, la vitesse du messager

Étape 1 : L'aller-retour
L'armée parcourt 500m durant le temps de l'aller-retour. On a donc [tex]V_A=\frac{500}{T}[/tex].
Le messager va parcourir, à l'aller, 500m plus la distance parcouru par l'armée, soit 500+d ; puis, au retour, à nouveau la distance d dans l'autre sens. (Faire un dessin permet de bien le voir.)
On a donc D=500+2d, d'où [tex]V_M=\frac{500+2d}{T}[/tex]
Ce qui nous donne le rapport [tex]\frac{V_A}{V_M}=\frac{500}{500+2d}[/tex].

Étape 2 : L'aller
La vitesse de l'armée étant constante, on a [tex]V_A=\frac{d}{t}[/tex].
On a vu qu'à l'aller le messager parcourait 500+d, donc on a [tex]V_M=\frac{500+d}{t}[/tex].
Ce qui nous donne le rapport [tex]\frac{V_A}{V_M}=\frac{d}{500+d}[/tex].

Étape 3 : Résolution d'équation
Des deux étapes précédentes, on obtient l'équation d'inconnue d:
[tex]\frac{500}{500+2d}=\frac{d}{500+d}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2d^2-500^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow d=\pm\frac{500}{\sqrt{2}}[/tex]
or [tex]D=500+2d=500+500\sqrt{2}=500(1+\sqrt{2})[/tex]

yoshi
11-10-2014 19:52:12

Bonsoir,

Je suis la suggestion de tibo. Je remonte les sujets de la cave. Les énoncés initiaux étaient basés sur ... 50 km ! Pour rester vraisemblable, j'ai réduit à 500 m.

Énoncé n°1
Identique au pb des fourmis de tibo.
Un problème ancien, que l'on trouve dans de nombreux vieux livres de problèmes, concerne une colonne de militaires en marche de 500 m de long. Alors que la colonne avance à une vitesse constante, un messager part de l'arrière-garde de ladite colonne, galope pour aller délivrer un message à l'avant, puis revient à l'arrière-garde. Il arrive à l'arrière-garde exactement au moment où l'armée a parcouru 500 m.
Quelle est la distance totale parcourue par le messager ?


Énoncé n°2
Un problème plus difficile est donné par l'hypothèse supplémentaire suivante :
une troupe en carré de côté 500 de long parcourt 500 m à une vitesse constante, pendant qu'un messager part du milieu de l'arrière-garde et fait un circuit complet autour de cette troupe, pour revenir à son point de départ. La vitesse du messager est constante, et il termine son circuit au moment où l'armée a progressé de 500 m.
Combien de kilomètres a parcouru le messager ?


@+

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