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Re,

dis voir, pépère, c'est quoi, cet angle [tex]\alpha[/tex]  ?

re.

résolution :

Un tronc de cône  est  la différence entre deux cônes de volumes V pour le plus grand et   v  pour le plus petit .

De plus , dans ce qui va suivre , tous les cônes utilisés ont même sommet et même conicité . On en conclut que leur hauteur et rayon de

base respectifs  sont proportionnels .

en effet:      [tex]\frac{r_1}{h_1}=\frac{r_i}{h_i}[/tex]

dans ce problème on va considérer  les 4 cônes suivants (voir le dessin ci dessus)   

[tex]v_3 = v + C[/tex]
[tex]v_2 = v + v_1[/tex]
[tex]v_0 = v + 10 = v_3 + v_2 - v [/tex]

[tex]v_1[/tex] est le volume du vide dans l'aquarium

d'autre part le volume d'un cône   [tex]v = \frac{\pi.r^2.h}{3} = \frac13\times{\frac{1}{\tan^2\alpha}.h^3} = c\times{h^3}[/tex]  ou c est une constante commune à tous ces cônes .

par hypothèse , je pose  H = 1  , H sera la hauteur de mon aquarium.  Il me faut maintenant calculer la hauteur a  du cône v

la hauteur d'eau sera  2/3  sur la figure de gauche  et  1/2  sur la figure de droite.

On peut donc écrire l'égalité suivante :   [tex](a+1)^3 = (a+\frac23)^3 + (a+\frac12)^3 - a^3[/tex]

il en résulte une équation du second degré : [tex]\frac{a^2}{2} - \frac{11}{12}.a - \frac{125}{216} = 0[/tex]

la racine positive[tex]  a = 2.3300616  [/tex]

a   est donc la hauteur du petit cône de volume v     , 1 est celle de l'aquarium .  le rapport des volumes du grand cône V0 = v + 10  et du petit cône v   donne :

[tex]\frac{v +10}{v} = \frac{(a+1)^3}{a^3}\Rightarrow v = \frac{10.a^3}{(1+a)^-a^3} = 5.2106733 = v[/tex]

C  étant le tronc de cône d'eau  à gauche  , on compare : v+C  et v 

[tex]\frac{v+C}{v} = \frac{(a+\frac23)^3}{a^3} \Rightarrow  C = v.\frac{(a+\frac23)^3 - a^3}{a^3} \approx 5.87427[/tex]

Salut,

même résultat que totomn (4 possibliltés trouvées), de la manière "brute épaisse" suivante :

1 - on nomme [tex]a[/tex] le grand rayon et [tex] b[/tex] le petit rayon du tronc de cône droit de révolution. On appelle [tex]h[/tex] la hauteur et [tex]h'[/tex] la hauteur complémentaire du cône droit de révolution de base circulaire de rayon [tex]a[/tex].

2 - l'énoncé indique que [tex]\frac{\pi\times h}{3}\times(a^2+b^2+ab)=10 [/tex] litres. Il nous indique aussi qu'il existe un rayon de longueur [tex]c[/tex] et un rayon de longueur [tex]d[/tex] compris entre les deux bases de la forme tronconique de telle sorte que :

[tex]\frac12 \times (a^2+d^2+ad)=\frac23 \times (b^2+c^2+bc)[/tex]

3 - un peu de trigonométrie permet d'écrire

[tex]c=(h'+\frac23 h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]d=(h'+\frac12 h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]a=(h'+h)\times \tan \alpha[/tex]

[tex]b=h'\times \tan \alpha[/tex]

donc [tex]h\tan\alpha=a-b,\; c=\frac{2a+b}{3},\; d =\frac{a+b}{2}[/tex]

4 - un ordinateur permet de conclure que le volume d'eau est égal à 5.87427 litres avec comme dimensions possibles de la forme tronconique :

[tex]a = 10,19\; b=7,13\; h=42[/tex]

[tex]a = 16,95\; b=11,86\; h=15,182[/tex]

[tex]a = 27,14\; b=18,99 \; h=5,92[/tex]

[tex]a = 54,28 \; b=37,98 \; h=1,48[/tex]

salut.

@totomm.  pourrais tu développer ?  la forme du tronc de cône n'est pas définie ; et il y a un nombre infini de formes tronconiques qui répondent aux trois critères de départ.

Merci, vraiment merci pour cette énigme jpp.
Ce ne sera pas pour ce soir, je suis parti dans des calculs, mais il va me rester la hauteur h, et je suppose que le résultat en est indépendant. Sans ce problème, j'obtiens un système de deux équations à deux inconnues, mais vraiment pas linéaire.
Et là, je suis vraiment très flemmard !

à suivre, bon dimanche ensoleillé, let the sunshine in comme ils disaient du temps des modérateurs du site, ahahahahahaha, (je vais me faire rembarrer par l'un d'eux qui va m'envoyer la solution, de tête, comme ils pratiquaient à l'époque ...)

salut.

@ymagnyma   pas encore de poisson dans l'aquarium 

  un dessin , ça parle mieux

voilà les 2 cas de figure  avec un réservoir tronconique droit de 10 litres de capacité .

salut.

je possède un aquarium de forme  tronconique droit de 10 litres de capacité .

le fond c'est sa petite base .  j'y verse de l'eau  jusqu'au  2/3 de sa hauteur (intérieure) , puis je place dessus une plaque qui le rend étanche.

je retourne l'ensemble puis je le pose sur une table . Aucune fuite;  et constate que le niveau d'eau n'est plus qu'à mi hauteur dans  son contenant.

Question :  quelle quantité d'eau ai-je  versée  dans l'aquarium ?

                                                                                                  à plus.