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si je joins les milieux des 4 côtés   a , b , c & d j'obtiens un parallélogramme . je passe sur la démo en rappelant que son aire est

[tex]S = \frac12\times{AC}\times{BD}\times{\sin{\alpha}}[/tex] (celle du quadrilatère ABCD bien entendu)

Maintenant je décompose les segments AC = e + g  et  BD = f + h

la surface du polygone peut donc s'écrire [tex]\frac12\times{(e+g)}\times{(f+h)}\times{\sin{\alpha}} =\frac12\times{\left[e.f + g.f + e.h + g.h\right]}\times{\sin{\alpha}} [/tex]

si j'applique le théorème d'Al Kashi dans les 4 triangles AIB , AID , BIC & CID  , j'obtiens :

[tex]e.f = \frac{a^2-e^2-f^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]e.h = \frac{e^2+h^2-d^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]f.g = \frac{f^2+g^2-b^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]h.g = \frac{c^2-h^2-g^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

maintenant si je reporte mes 4 valeurs dans la formule: [tex]\frac12\times{\left[e.f + g.f +e.h + g.h\right]}\times{\sin{\alpha}}[/tex]

j'obtiens [tex]S = \frac12\times{\sin{\alpha}}\times\frac{a^2 - e^2 - f^2 + e^2 + h^2 - d^2 + f^2 + g^2 - b^2 + c^2 - h^2 - g^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

qui , après simplifications me donne: [tex]S = \frac14\times{\left[a^2 - d^2 + c^2 - b^2\right]}\times{\tan{\alpha}}[/tex]

si je n'ai pas fait d'erreurs.

                                                                                                    à plus.