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Sur un cercle de rayon [tex]R[/tex], la distance [tex]d[/tex] entre deux points faisant un angle [tex]\theta[/tex] vérifie (loi des sinus) [tex]\frac{d}{sin \theta}=\frac{R}{sin \frac{1}{2}(\pi - \theta)}[/tex], soit [tex]d=2.R.sin \frac{\theta}{2}[/tex]. On voit que la condition que [tex]d[/tex] soit entier peut être remplacée par [tex]d[/tex] rationnel, dans la mesure où on pourra toujours choisir [tex]R[/tex] de manière à ce que toutes les distances considérées soit entières. On suppose donc dans la suite [tex]R=1[/tex].
cela revient donc à trouver des angles  [tex]{\theta_1,...\theta_6}[/tex] tels que [tex]sin \frac{\theta_i}{2}[/tex] et [tex]sin \frac{2\pi - \Sigma \theta_i}{2}[/tex] soient rationnels. On peut se restreindre au même [tex]\theta[/tex], il faut donc avoir [tex]sin \frac{\theta}{2}\in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]sin \frac{2\pi - 6.\theta}{2}=sin 6.\frac{\theta}{2} \in \mathbb{Q}[/tex]. En choisissant [tex]q \in \mathbb{Q},q < 1[/tex] tel que [tex]\sqrt{1-q^2}\in \mathbb{Q}[/tex], on peut alors garantir que l'angle [tex]\theta=2.arcsin(q)[/tex] vérifie [tex]sin \frac{\theta}{2}\in\mathbb{Q}, cos \frac{\theta}{2}\in\mathbb{Q}[/tex]. Donc, tout les [tex]sin (n.\frac{\theta}{2})[/tex] seront également rationnels (moivre). Le choix de [tex]q[/tex] doit également permettre que [tex]6.\theta < 2\pi[/tex] ([tex]q[/tex] suffisamment petit). [tex]q[/tex] sera choisi comme une fraction [tex]\frac{a}{b}[/tex] où [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont deux entiers d'un triplet Pythagoricien tq [tex]b^2=a^2+c^2[/tex].

J'ai pas la solution (si je l' avais, tout le monde en serait sur le cul et Freddy ferait un "nervous breakdown", comme aurait dit le tant regretté Michel Audiard), mais si j'essayais (j'ai la flemme), je ferais peut-être des cercles concentriques autour d'un point, puis j'en ferais autour d'un point pris sur l'un des cercles et puis... et puis je ne sais pas !

Autre chose : est-ce qu'on ne pourrait pas juxtaposer des triangles rectangles 3x4x5 ?