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  avec 3 tas différents.   a² , b² & c²  ,  en triplant la mise , on obtient les 4 tas :  (a+b+c)²  , (a-b)² , (a-c)²  &  (b-c)²

on part de 4 nombres carrés  a² & b²    puis  c²  & d²

   [tex] (a²+b²).(c²+d²) = a²c² + b²c² + a²d² + b²c² = a²c² +2abcd + b²d² + a²d² -2abcd + b²c²[/tex]
                                                                                       [tex]   = (ac + bd)² + (ad - bc)² [/tex]

les doubles produits disparaissent.

maintenant on s'y prend de la même façon pour démontrer l'équation de Lagrange .
[tex](A² + B² + C² + D²).(E² + F² + G² + H²) = U² + V² + W² + Z²[/tex] .  Voir le lien de Freddy.

[tex](A^2 + B^2 + C^2 + D^2).(E^2 + F^2 + G^2 + H^2) = (A^2+B^2).(E^2+F^2) + (A^2+B^2).(G^2+H^2)[/tex]
                                                                                    [tex] + (C^2+D^2).(E^2+F^2) + (C^2+D^2).(G^2+H^2)[/tex]

en utilisant la formule plus haut

[tex](A^2+B^2).(C^2+D^2)= (AC+BD)^2 + (AD-BC)^2[/tex]

on peut développer comme  au dessus.

   [tex](A^2+B^2).(E^2+F^2)=(AE+BF)^2+(AF-BE)^2[/tex]

[tex](A^2+B^2).(G^2+H^2)=(AG+BH)^2+(AH-BG)^2[/tex]

[tex](C^2+D^2).(E^2+F^2)=(CE+DF)^2+(CF-DE)^2[/tex]

[tex](C^2+D^2).(G^2+H^2)=(CG+DH)^2+(CH-DG)^2[/tex]

on obtient donc:
[tex](A^2 + B^2 + C^2 + D^2).(E^2 + F^2 + G^2 + H^2)=(AE+BF)^2+(AF-BE)^2+(AG+BH)^2+(AH-BG)^2[/tex]
                                                                                                             [tex] +(CE+DF)^2+(CF-DE)^2 +(CG+DH)^2+(CH-DG)^2 [/tex]

je prend ces 2 carrés[tex](AE+BF)^2 +(CG+DH)^2 =(AE+BF+CG+DH)^2 - 2.(AE+BF).(CG+DH) [/tex]
puis 2 suivants:
[tex](AG+BH)^2+(CE+DF)^2=(AG+BH-(CE+DF))^2 + 2.(AG+BH).(CE+DF)[/tex]
puis 2 suivants:
[tex](AF-BE)^2+(CH-DG)^2=(AF-BE-(CH-DG))^2 + 2.(AF-BE).(CH-DG)[/tex]
puis les 2 derniers:
[tex](AH-BG)^2+(CF-DE)^2=(AH-BG+CF-DE)^2 - 2.(AH-BG).(CF-DE)[/tex]
en sommant , les 4 doubles produits disparaissent .
Au final on obtient:

[tex](AE+BF+CG+DH)^2+(AG+BH-CE-DF)^2[/tex]
                                                         [tex]+(AF-BE-CH+DG)^2+(AH-BG+CF-DE)^2=U^2+V^2+W^2+Z^2  [/tex]

On peut imaginer qu'un quatrième tas de billet soit nul  , on a la somme des 4 carrés :

[tex](A^2 + B^2 + C^2 + D^2) = a^2 + b^2 +c^2 + 0^2[/tex]  ,  a² , b² & c² étant les 3 tas de billets du départ

ensuite on triple la mise  .  le nombre 3 peut se décomposer en somme de 4 carrés  --> [tex]3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2[/tex]

               donc  [tex]e=1 \;  f=1\;  g=1\;  h=0[/tex]

au final: [tex](a^2+b^2+c^2+0).(1+1+1+0)=(a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2[/tex]  qui sont les 4 tas obtenus.

il y a une famille de réponses possibles comme la multiplication par un carré comme 4 --->  4 ,16,36  donne au final  16,16,36 & 100
                                                                                                                          16 ---> 16,64,144  donne  64 , 64 , 144 & 400

on peut continuer comme ça longtemps selon la générosité du gagnant.

le copain qui a raflé la mise sachant qu'il y avait une solution possible avec 4 tas carrés en a déduit que son ami gagnant du loto avait fait ses trois tas comme ceci:

                                               a² , 4a² & 9a²

Lorsque ce dernier à tripler la mise  , il a rajouté le double de ce qu'il avait déjà mis sur la table . Sur le premier tas , le plus rusé n'a eu qu'à rajouté ce qu'il manquait pour égaler le second tas ; ainsi , il ne lui restait plus qu'a faire le quatrième tas avec le reste.

ex.  si a=36   --> 4a = 144  & 9a = 324  -->  14a = 504   .  Il rajoute donc une pile de 1008 billets ; il en prélève donc 108 pour faire passer le premier tas de 36 à 144   .

Il ne lui reste plus que 900 billets pour le quatrième tas.  --->  144 + 144 + 324 + 900 = 1512