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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- nerosson
- 27-12-2012 12:07:28
Salut à tous,
@totomm,
C'est quand mes conjectures ne sont pas battues en brèche que je me sens perturbé !
- totomm
- 27-12-2012 11:34:12
Bonjour,
@vénérable nerosson : qui va être sans doute très déçu de voir sa Nième conjecture infirmée...Mais il y aura peut-être une (N+1)ième...
Prenons la suite des nombres [tex]u_n=10\times{u_{n-1}}+4,\ n\ entier \ >0,\ u_1=4[/tex]
La division entière des [tex]u_n[/tex] par 8 laisse toujours un reste = 4
La division entière des [tex]u_n[/tex] par 24 laisse laisse des restes égaux à 4, 20, 12, 4, 20, 12,....répétitivement
Voilà 2 nombres au moins (en base 10) qui n'auront jamais de multiple formé d'une suite de chiffres 4.
Par contre, si vous aviez écrit :
je vous demande de me fournir un nombre de longueur quelconque, ne se terminant pas par zéro ou cinq, NI MULTIPLE DE 8,....
Cordialement
- nerosson
- 26-12-2012 17:11:46
Salut à tous,
Ainsi, un nombre composé de 512 fois le chiffre quatre est un multiple de 2012.
Alors, je pose la question suivante : si je choisis un nombre de cinq chiffres, ne se terminant ni pas 0 ni par 5 (pourquoi cinq chiffres ? Parce que je n'ai pas de comptes à vous rendre. Pourquoi « ne se terminant ni par zéro ni par cinq »: pour des raisons évidentes que je ne vous ferai pas l'affront de vous expliquer). Alors, compte-tenu du fait qu'une série de quatres peut (mathématiquement) être infinie, ne pourra-ton pas y trouver un multiple de ce nombre arbitrairement choisi ?
Première hypothèse : vous êtes d' accord.
On aboutit alors à la Nième conjecture de Nérosson : « Dans une suite infinie de quatres, on peut trouver un multiple de tout nombre fini ne se terminant pas par zéro ou par cinq.
Ne soyez pas surpris que Nérosson ponde des conjectures comme une reine des abeilles pond des œufs. La raison est simple : c'est qu'il n'est pas foutu de démontrer quoi que ce soit.
Je me demande avec inquiétude si je n'ai pas encore une fois redécouvert l' Amérique. Si oui, soyez bons avec le pauvre Nérosson : il est dans Bibmaths comme un cheveu sur la soupe.
Deuxième hypothèse : vous n'êtes pas d'accord.
Dans ce cas, je vous demande de me fournir un nombre de longueur quelconque, ne se terminant pas par zéro ou cinq, dont vous pourrez prouver qu'il n'a pas de multiple formé d'une suite de quatres.
A+
- totomm
- 13-12-2012 19:36:13
Bonsoir,
Resterait à en trouver une preuve par le raisonnement et non informatique.
Le "raisonnement" suivant est-il acceptable et suffisant ?
:
2012 = 4 x 503 et 503 est premier.
On recherche donc un multiple de 503 composé uniquement du chiffre 1 écrit consécutivement moins de 502 fois.
S'il y en avait un plus petit, il aurait un nombre de chiffres 1 qui diviserait 502
or 2 et 251 sont les 2 seuls facteurs premiers qui composent 502...
Cordialement
- Fred
- 13-12-2012 18:14:13
Re-
A vrai dire, je ne connais pas de preuve purement arithmétique... J'ai au moins besoin de savoir que [tex]10^{502}-1[/tex] est un multiple d'un certain entier....et je ne sais pas le faire sans un peu de calculs.
Cela dit, on peut se poser une question assez proche, qui aura sans doute une réponse purement arithmétique :
quels sont les entiers qui ont un multiple s'écrivant uniquement avec un seul chiffre?
F.
- yoshi
- 13-12-2012 15:14:33
Bonjour,
Rien à dire contre cette preuve pythonesque puisque Python a recherché exhaustivement tous les nombres composés uniquement de 4 et multiples de 2012, dans l'ordre croissant...
J'ai étendu cette recherche aux chiffres 2, 6 et 8 et j'ai constaté que le plus petit multiple de 2012 écrit en ne faisant usage que d'un seul chiffre, autre que 4, est composé de 502 fois le chiffre 8...
Donc le nombre de totomm composé de 502 fois le chiffre 4 est bien le plus petit.
Resterait à en trouver une preuve par le raisonnement et non informatique.
@+
- totomm
- 13-12-2012 12:33:34
Bonjour,
Après avoir pensé à Fermat, je me suis fié d'emblée au générateur congruentiel linéaire [tex]X_{n+1}=(10\times{X_n}+1)\ mod\ 503[/tex] dont j'ai supposé la période égale à 503, il a en fait 2 périodes, une de 502 et une de 1 pour la valeur 447 mais le nombre formé de 447 chiffres 1 consécutifs n'est pas divisible par 503
Plus probant est l'algorithme suivant qui stoppe pour i=502:
m=4
for i in range(2,1000):
m=10*m+4
if m%2012==0:
print(i,m)
break
Meilleure preuve que cette "Pythonnerie" ?
Cordialement
- Fred
- 12-12-2012 22:14:32
Salut,
Je suis d'accord sur le fait que 444...4 avec 502 fois le chiffre 4 est un multiple de 2012.
Je ne suis pas convaincu par ta démonstration qu'il s'agit du plus petit.
F.
- totomm
- 12-12-2012 21:45:47
Bonsoir,
2012 = 4 x 503, 503 est premier
D'après le petit théorème de Fermat [tex] 10^{502}-1 [/tex] est multiple de 503
donc le nombre formé uniquement de 1 : [tex] 10^{501}+10^{500}+...+10+1 [/tex] est multiple de 503
il comprend 502 fois le chiffre 1 et ce doit être le plus petit multiple de 503 composé uniquement de 1
idem pour 2012 avec le chiffre 4
Cordialement
- Fred
- 12-12-2012 17:42:04
@nerosson : Tu ne te trompes pas.... d'ailleurs, il comporte bien plus que 27 chiffres!
- nerosson
- 12-12-2012 16:56:02
<salut à tous,
@Fred,
T'as pas honte de m'avoir fait perdre presque toute mon après-midi ?
Ce chiffre unique ne peut être que 2, 4, 6 ou 8 et je pense pouvoir affirmer que le nombre en question comporte plus de 27 chiffres.
J'aurais un faible pour le 4. Je me trompe ?
- Fred
- 12-12-2012 07:52:04
Salut,
C'est malin cela jpp!
Je voulais dire que dans son écriture décimale, on n'utilise qu'un seul chiffre!
F.
- jpp
- 12-12-2012 07:01:51
salut.
- Fred
- 11-12-2012 22:32:57
Bonjour,
L'année se termine bientôt....
Mais sauriez-vous déterminer le plus petit multiple de 2012 qui s'écrit en n'utilisant qu'un seul chiffre????
Fred.