Forum de mathématiques - Bibm@th.net

salut à tous.

la formule de Méchain qui est donc celle ci : 

[tex]\frac{\pi}{4} = 4.\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}[/tex]

peut s'écrire autrement. je pose donc   

[tex]\theta = \arctan\frac{1}{5}  => t = \frac{1}{5} = \tan\theta[/tex]

il faut maintenant chercher la valeur de [tex]\tan{(4.\theta)}[/tex].

en utilisant la formule d'Euler:  [tex]e^{4i.\theta} = \cos{4.\theta} + i.\sin{4.\theta}[/tex]

on obtient directement:

[tex]\tan{4.\theta} = \frac{4.\cos^3\theta.\sin\theta - 4.\cos\theta.\sin^3\theta}{\cos^4\theta - 6.\cos^2\theta.\sin^2\theta + \sin^4\theta}[/tex]

en divisant le numérateur et le dénominateur par [tex]\cos^4\theta[/tex]:

[tex]\tan{4.\theta} = \frac{4.\tan\theta - 4.\tan^3\theta}{1 - 6.\tan^2\theta + \tan^4\theta}[/tex]

et [tex]\tan{4.\theta} = \frac{4t - 4t^3}{1 - 6t^2 + t^4} = \frac{\frac{4}{5} - \frac{4}{125}}{1 - \frac{6}{25} + \frac{1}{625}} = \frac{120}{119}[/tex]

pour conclure:

[tex]\frac{\pi}{4} = 4.\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} = \arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{239}[/tex].

sur la figure on voit bien que[tex]\epsilon = \frac{\pi}{4} = \beta - \alpha = \arctan\frac{a}{b} - \arctan\frac{a - b}{a + b}[/tex]

dans l'exemple précédent  a = 120  &  b = 119

pour répondre à la question posée :   

[tex]\pi = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22}{2} - \arctan\frac{22 - 2}{22 + 2}\right]} = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.2}{2} - \arctan\frac{22.2 - 2}{22.2 + 2}\right]} [/tex].

et encore:

[tex]\pi = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.2}{22} - \arctan\frac{22.2 - 22}{22.2 + 22}\right]} = 2^2\times{\left[\arctan\frac{22.22}{22} - \arctan\frac{22.22 - 22}{22.22 + 22}\right]} ....... [/tex].

comme la définition de [tex]\pi[/tex] contient 3 fois le terme a et 3 fois le terme b , on utilise bien

[tex] 11 + 3n[/tex] fois le chiffre 2.

il faut remarquer que  ( 119 , 120 , 169 ) est un triplet de pythagore. ( 696 , 697 , 985) , (4059 , 4060 , 5741)

en sont d'autres

[tex]\pi = 4\times{\left[\arctan\frac{697}{696} - \arctan\frac{1}{1393}\right]} = 4\times{\left[\arctan\frac{4060}{4059} - \arctan\frac{1}{8119}\right]}  [/tex].

de meme avec un arc cosinus ou un arc sinus

[tex]\pi = 4\times{\left[\arccos\frac{696}{985} - \arctan\frac{1}{1393}\right]} = 4\times{\left[\arcsin\frac{697}{985} - \arctan\frac{1}{1393}\right]}  [/tex].

[tex]\pi = 4\times{\left[\arcsin\frac{4060}{5741} - \arctan\frac{1}{8119}\right]} = 4\times{\left[\arccos\frac{4059}{5741} - \arctan\frac{1}{8119}\right]}  [/tex].

et bien évidemment:

[tex]\pi = 4\times{\left[\arctan\frac{4}{3} - \arctan\frac{1}{7}\right]} = 4\times{\left[\arcsin\frac{4}{5} - \arctan\frac{1}{7}\right]}  [/tex].

                                                                             à plus .

Bonjour.

           ya plu ka..

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Bonsoir à tous.

J'aimerais apporter une (tentative de) solution (malhonnête) à ce problème :

En considérant qu'arctangente est présente sur les calculatrice scientifique (c'est le cas sur la mienne) :

[tex]\pi = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) \times 2  \times 2[/tex]

Avec cette formule, on obtient facilement pi. Après, en jouant avec des +2 -2, on génère un nombre pair quelconque de 2.
Encore plus fort, avec du (2-2)/(2+...+2), on génère autant de 2 que l'on souhaite, à partir de 3 minimum.

A priori, mais solution permet de générer pi avec 4 ou 6+ 2 dans la formule, ce qui englobe notamment le 11+3m.

Nico, pour l'aspect malhonnête des mathématiques.

ps: plus facile encore : trouver 2 avec un nombre quelconque de pi

Au passage, je suis pas convaincu que ma formule LaTeX va bien marcher (pré-visualisation un peu bizarre). Normalement, c'est bien formaté pourtant.

[EDIT]
Formule Latex rectifiée (hier soir. Ce matin, je me dis que j'aurais dû prévenir) :
* Arctangente c'est  \arctan et non \atan
* La multiplication c'est  \times et non x qui est la variable [tex]x[/tex]

Mais, ce n'est pas grave...
        Yoshi

Bonsoir.

Soit un repère xOy orthonormé.
si je trace un rectangle ABCD   A(0,0) , B(b+a,0) , C(b+a,a) , D(0,a) , a  &  b   étant 2 réels positifs
avec a>b
je place 2 points E  &  F judicieusement placés sur les segments AB & BC ....

Bonsoir

           @ Golgup :  ce n'est pas une suite et il n'y a pas d'itération ; par contre , il y a une infinité de solutions

                           et c'est assez simple d'écriture. tu l'obtiens en 30s sur une calculette de lycée.

                           le temps de l'écrire .

                                                                                        à plus.

_utile_aux_sages....

  Bonjours à tous.

Je repensais à cette fameuse réponse de Paul Dirac il y aura bientot un siècle; réponse à ce problème:
formuler le maximum de nombres entiers en utilisant 4 fois le chiffre 2.
Ce dernier avait sorti de son chapeau cette réponse:

   [tex]n = -\log_2{\left(\log_2\left[\sqrt[2]{\sqrt{...\sqrt{2}}}\right]\right)}[/tex]

avec n égal au nombres d'itérations [tex]\sqrt{..}[/tex]

ce problème avait été reposé par Totomm il y a quelque temps sur ce forum.

hier soir je pensais à un petit problème dans le meme style , mais beaucoup plus facile. Peut-etre qu'un problème dans le genre a déjà été posé.

Voilà: il faudrait pouvoir formuler le transcendant :[tex]\pi[/tex] en utilisant les opérateurs et les fonctions
disponibles sur une calculette scientifique en utilisant uniquement le chiffre 2 puis démontrer de façon
simple qu'il existe une infinité de solutions par exemple en utilisant n fois2 avec

[tex]n = 11 + 3m[/tex] ,avec [tex]m\in{N}[/tex]

il y a bien entendu encore beaucoup d'autres solutions je présume.
                                                                                               Bon courage.

n.b.   222 + 22 + 2 ... cette méthode d'écriture peut etre utiliser.

  par contre aucune itération n'est utilisée ; comme  une fraction continue par exemple ...