Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ah oui oui très pédagogiques, tu es au moins en Master ou peut-être  en thèse, si tu peux enseigner en fac au moins en L3 ce serait bien, t'aurais un public attentif et à la hauteur...

Et toi tu as l'air d'être un mathématicien averti, pédagogue et passionné...
Encore Merci
Bonne soirée

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles alors $F^E$ désigne l'ensemble des applications $f : E \to F$ Ainsi $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ désigne l'ensemble des applications $a : \mathbb{N}^*\to \{0,1\}$ à savoir l'ensemble des suites $(a_n)_{n\geq 1}$ qui sont à valeurs dans $\{0,1\}$.

Ex : la suite $a$ définie par $a_n= \frac{1}{2}(1+(-1)^n)$ est un élément de cet ensemble de même que la suite $b$ qui est constante égale à $1$ ($\forall n\in \mathbb{N},\ b_n=1$).

Rebonjour,
La fonction Arctan est une très bonne idée. Cela dit elle te donne une bijection entre $\mathbb{R}$ et $]-\pi/2,\pi/2[$. Mais en fait tu peux montrer le résultat général suivant :
Pour tout $a<b$ et $c<d$ il existe une bijection entre $]a,b[$ et $]c,d[$.

Pour le Latex ça vient en pratiquant (en en vérité ça vient même assez rapidement une fois que tu as compris la logique du langage). Si tu as besoin tu peux consulter  https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1943 pour avoir les quelques notions de base. Sur ce site tu peux aussi citer un message pour voir comment le Latex a été rédigé.

Par curiosité tu en es à quel niveau dans tes études en maths ?

Bonne journée

Bonjour,
Une idée classique repose sur le développement en base $b$ des nombres réels.

Déjà, peux tu montrer que $\mathbb{R}$ et $]0,1[$ sont en bijection ?

Peux tu montrer que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ est en bijection avec l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$ à savoir $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$.

Peux tu montrer les résultats suivants :
- Soit $b\geq 2$ un entier. Pour tout $x\in ]0,1[$ il existe une suite $(a_n)_{n\geq 1}$ avec $a_n \in \{0,1,2\dots,b-1\}$ telle que $x=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b^n}$. Une telle suite est appelé un développement en base $b$ de $x$.
- Si $x\in ]0,1[$ possède plusieurs développements en base $b$ alors en fait $x$ admet exactement deux développements : l'un qui est constant égal à $0$ à partir d'un certain rang (développement propre) et l'autre constant égal à $b-1$ à partir d'un certain rang (développement impropre).
- Facultatif : en déduire que l'ensemble des $x\in ]0,1[$ pour qui admettent plusieurs développement en base $b$ est exactement l'ensemble des $x$ tels qu'il existe un entier $k\geq 1$ avec $b^kx\in \mathbb{N}$.

Maintenant il est plus ou moins facile de trouver les injections recherchées :
Pour une injection de $]0,1[$ dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ on prend l'application a un $x\in ]0,1[$ associe son développement en base $2$ (propre s'il y a le choix).
Pour une injection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $]0,1[$ on prend l'application qui a une suite $(a_n)\in \{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ associe l'élement
$$x:=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}.$$
(on est sûr de ne pas tomber sur des développements impropres en base $3$ car aucun $a_n$ n'est égal à $2$).

NB : Pour la deuxième injection on ne peut pas se contenter d'associer $x=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^n}$ car alors on n'a pas l'injectivité à cause des développements impropres, par exemple :
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}$$.

Bonne journée