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Bonjour
S'il existe $x$ tel que $x \in x$ alors $x$ est non vide et $\{ x \}$ contredit l'axiome de fondation : il est non vide, il a pour unique élément $x$, et pourtant, $x \cap \{x\} = x \neq \emptyset$.
On montre de manière analogue qu'il n'existe pas de cycles pour l'appartenance, à savoir d'ensembles $x_1, ..., x_n$ tels que $x_{i-1} \in x_i$ et $x_n \in x_1$, et qu'il n'existe pas de suites décroissantes pour l'appartenance, à savoir une suite d'ensemble $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tels que pour tout $n$, $x_{n+1} \in x_n$.