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gebrane · 29-01-2026 01:16:05

oui

Reouven · 29-01-2026 01:09:14

Tu veux dire celle avec $ f''(x)=0$ ?

gebrane · 29-01-2026 00:59:14

Restons dans le cas f est C². Démontrer que la condition que j'ai donné est bien NS

Reouven · 28-01-2026 23:57:11

Mais une fonction analytique sur $\mathbb{R}$ est aussi $C^{\infty}(\mathbb R)$, donc ma condition n'avait pas grand sens...

Reouven · 28-01-2026 20:36:00

Je reviens vite fait pour dire que par fonction explicite je voulais entendre gonction analytique.
Par ailleurs, pour ma dernière question, je m'auto-réponds que non, une fonction analytique sur un intervalle I, non identiquement nulle, ne peut avoir que des zéros isolés.

Reouven · 28-01-2026 16:08:51

C'est pour cela qu'au début j'avais parlé de fonctions explicites.

Je crois qu'on ne peut pas avoir une fonction continue et explicite sur un intervalle I, avec un zero non isolé ?
(par contre, évidemment, une fonction non explicite peut avoir des zéros isolés).

Reouven · 28-01-2026 15:28:48

Oui, les zeros de $f'$ doivent être isolés.

gebrane · 28-01-2026 13:20:33

Re-bonjour

Avec un peu de retard, je te réponds :
La condition $\forall a, (f(a)=0 \implies f(x) = o((x-a)^2))$ est une CNS pour la dérivabilité de $\sqrt{f}$, mais elle n'est pas suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit $C^1$.

Contre-exemple :
Soit $f(x) = x^4 \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right)^2$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$.
$f$ est bien de classe $C^1$ et positive sur $\mathbb{R}$.

On a $h(x) = \sqrt{f(x)} = x^2 \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right)$. ( J'ai ajouté 2 pour avoir $ 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right)>0)$
$h$ est dérivable en $0$ car $\frac{h(x)-h(0)}{x} = x(2+\sin(1/x)) \xrightarrow{x \to 0} 0$. On a donc bien $f(x) = o(x^2)$ et $h'(0)=0$.
En outre, pour $x \neq 0$ :
$h'(x) = 2x \left( 2 + \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$.
Cette dérivée n'admet pas de limite en $0$ à cause du terme en $\cos(1/x)$.

Ta condition garantit que $\sqrt{f}$ est dérivable, mais pour la continuité de la dérivée, il faut une condition supplémentaire sur le comportement de $f'$

Reouven · 27-01-2026 14:20:11

Je doute fort de mon résultat pour être tout à fait honnête, surtout que je vois une erreur évidente.
Au mieux, c'est une condition suffisante mais pas nécéssaire, comme je l'avais évoqué dans mon premier message.

Edit : déjà $f'(a)=0$ implique que $f'(x)= O(x-a)$ (et non petit $o$), donc ma caractérisation serait plutôt $f(x)=O\left((x-a)^2\right)$, c'est-à-dire $f$ deux fois dérivable en $a$.

gebrane · 27-01-2026 13:44:00

Bonjour,
je viens de constater que dans mon énoncé j’ai écrit que $f \in C^1(\mathbb{R})$ alors qu’en fait $f \in C^2(\mathbb{R})$. C’est pourquoi j’ai parlé de la dérivée seconde. Je vais relire attentivement, et si ta caractérisation fonctionne pour seulement $f \in C^1(\mathbb{R})$, ce serait formidable.

Reouven · 27-01-2026 03:39:45

$f$ étant positive, posons $f(x)=h(x)^2$.
On cherche une CNS pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$.

Pour que $\sqrt f$ soit dérivable en un zéro $a$ de $f$, $h$ doit être de signe constant au voisinage de ce point.
D'où $\sqrt{f}=h$ (le même raisonnement est valable si $\sqrt{f}=-h$, avec $h$ négative).
Par ailleurs, $f$ étant $C^1(\mathbb R)$, en utilisant, par exemple, la formule de Taylor, on obtient :
$f(x) = (x-a) f'(a) + o\left((x-a)\right)$.

D'où
$$f'(a)=0$$

De plus, pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$, il faut que :
$\displaystyle (h'(a)=)\lim_{x \to a} \dfrac{h(x)}{x-a} =\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, c'est-à-dire :
$\displaystyle \dfrac{h(x)}{x-a} \underset{a}{\sim}
\dfrac{f'(x)}{2 \sqrt{f(x)}}$,
$\displaystyle 2\ h(x)^2 \underset{a}{\sim} f'(x) (x-a)$
Or $f'(x)=o\left((x-a)\right)$ en $a$
D'où
$$f(x)=o\left((x-a)^2\right)$$

En conclusion, la CNS est :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f(u)=o\left((u-x)^2\right),\ \text{au voisinage de } x)$
ou de manière équivalente (si $f''$ existe au zéro en question) :
$\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f''(x)=0)$

edit : coquilles

gebrane · 26-01-2026 22:11:03

Bonjour Reouven
Oui .
Et tu peux écrire d'une manière équivalente ta condition $\forall x\in\mathbb R,\quad (f(x)=0 \implies f''(x)=0)$. Reste à prouver que c'est bien une CNS

Reouven · 26-01-2026 20:04:52

Je ne vois qu'une condition suffisante : au voisinage d'un point $a$ où $f$ s'annule, $f$ est une fonction explicite et $f(x)=o\left((x-a)^2\right)$.

gebrane · 26-01-2026 17:58:43

Bonjour,

Soit $f: \mathbb R\to \mathbb R^+$ une fonction de classe $C^1(\mathbb R)$ edit $f \in C^2(\mathbb{R})$.Donner une CNS pour que $\sqrt f$ soit $C^1(\mathbb R)$

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