Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- gebrane
- 27-10-2025 06:40:08
Bonjour,
Il semble aussi que $p_{n+3}<p_1....p_n$ pour tout $ n \ge 3$
peut etre on peut généraliser plus
- bridgslam
- 26-10-2025 21:52:01
Bonsoir,
En fait de mon côté j'avais montré un résultat un peu plus fort, $ p_{n+2}< \prod_{i=1}^n p_i - 4$,
c'est toujours ça de pris :-).
Je regarderai dans la semaine si j'ai des idées sans le postulat de Bertrand...
Bonne nuit
- gebrane
- 26-10-2025 18:57:51
Peut etre que je subis une rechute
$p_{n+2}< 2p_{n+1}<2^2 p_n<2^3 p_{n-1}<...<2^{n+1}p_1=2^{n+2}$
- bridgslam
- 26-10-2025 17:17:17
On peut aussi appliquer Bertrand de la façon suivante pour tout $ n\ge1$
$2p_{n+1}\le 2^{n+2}$
D'où tires-tu cette inégalité ? Triviale pour toi?
J'ai un gros doute là-dessus...
Celle qui semble juste est plutôt que
$p_{n+1} \le 2^{2^n}$ ...
Et on doit pouvoir trouver un contre-exemple à la tienne avec un calculateur assez costaud je pense.
Défi: trouver le n minimum qui invalide l'inégalité de gebrane.
- gebrane
- 26-10-2025 16:21:20
Ta preuve est juste.
On peut aussi appliquer Bertrand de la façon suivante pour tout $ n\ge1$
$p_{n+2}< 2p_{n+1}\le 2^{n+2}$ et pour $ n\ge 4$, $2^{n+2}<(n+1)!=\prod_{i=1}^n (i+1)$ et $1+i\le p_i$ pour tout $ i\ge 1$ donc $p_{n+2}< \prod_{i=1}^n p_i$
On verifie que l inegalité est vraie pour n=3
- gebrane
- 26-10-2025 16:09:15
Ta preuve est juste.
On peut aussi appliquer Bertrand de la façon suivante pour tout $ n\ge1$
$p_{n+2}< 2p_{n+1}\le 2^{n+2}$ et pour$ n\ge 4, $2^{n+2}<(n+1)!=\prod_{i=1}^n (i+1)$ et $1+i\le p_i$ pour tout $ i\ge 1$ donc $p_{n+2}< \prod_{i=1}^n p_i$
On verifie que l inegalité est vraie pour n=3
- bridgslam
- 26-10-2025 13:44:31
Bonjour,
$\Pi_{i=2}^n p_i - 2 $ est divisible par un nombre premier p, avec $p \gt p_n$ puisque ce nombre est impair et non divisible par 3,...., $p_n$.
On a donc $p_{n+1} \lt 2p_{n+1} \le \Pi_{i=1}^n p_i - 4 \lt \Pi_{i=1}^n p_i$.
Comme selon Bertrand il existe un nombre premier q tel que $p_{n+1} \lt q \lt 2p_{n+1}$, on est certain que le plus petit des nombres premiers dans cet intervalle strict, à savoir $p_{n+2} $ , est au plus égal à q, donc vérifie aussi l'inégalité à montrer.
... sauf erreur.
Je n'ai pas regardé par la méthode sans le théorème de Bertrand.
A.
- gebrane
- 26-10-2025 13:09:53
Bonjour bridgslam
Je ne comprends pas comment tu utilises Bertrand
- bridgslam
- 26-10-2025 12:33:27
Bonjour,
Pour l'anecdote l'énigme initiale provient d'un manuel de terminale, rubrique arithmétique, à résoudre donc quasi instantanément avec les moyens élémentaires (divisibilité, factorisation, et toutes ces sortes de choses...),sans aucune connaissances plus poussées.
Je l'ai trouvé dans une bouquinerie/déchetterie, à moins d'1 euro, et sauvé à pas cher d'une fin funeste ( style "paper shredder" par exemple ou d'un pyromane...).
Alain
- bridgslam
- 26-10-2025 11:48:42
Bonjour,
Si p premier divise $3\times5.... p_n -2 $, p vaut au moins $p_{n+1}$
Alors 2p divise le produit $2 \times 3 \times 5 \times ... p_n - 4 $
Ainsi avec le théorème de Bertrand, on a le résultat puisque $2p_{n+1} \lt 2\times3\times... p_n$
- gebrane
- 26-10-2025 11:48:23
Bonjour,
Michel Coste n'est pas un fan de Bertrand, comment l'éviter pour l'enigme2 ?
On peut essayer de considère $q=\prod_{i=1}^n p_i -p_{n+1}$, d'après l 'énigme 1, $q>0$. Si on démontre que $q>1$ on peut réappliquer la méthode de Michel Coste
- gebrane
- 26-10-2025 10:30:44
Bonjour,
Je propose comme amélioration de l'énigme:
Montrer pour tout $n \ge 3$, $ p_{n+2} \lt p_1p_2.... p_n$.
- Michel Coste
- 25-10-2025 22:06:52
Tu paies cher pour avoir Bertrand. La majoration demandée ici est pratiquement gratuite. par l'argument que j'ai donné.
- gebrane
- 25-10-2025 18:03:42
Je suis curieux de voir comment , on démontre un résultat plus fort sans le postulat de Bertrand à savoir pour n>5 $p^3_{n+1} < \prod_{i=1}^n p_i$
- gebrane
- 25-10-2025 17:48:40
Bonjour Michel Coste
Pourquoi se limiter à une seule méthode ?
(Bertrand donne directement $p_n<p_{n+1}<2p_n<p_1 \cdots p_n$)