Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous !

Pour la suite je donne d'abord les courbes des fonctions :

La représentation graphique donne :

pour f hyperbole en bleu, pour g parabole en vert et pour h hyperbole en rouge.

Deux asymptotes horizontales en tirets bleus et rouges, et une asymptote verticale : l'axe des ordonnées.

On y voit aussi les trois points d'intersection en A, B et C.

Et en A et B des tangentes communes en A à f et g, et en B commune à g et h. Ce qui permet de dire que la fonction p, en noir, est continue et dérivable sur IR.

Maintenant l'objectif est de définir des fonctions indicatrices pour établir une équation cartésienne de la fonction p, définie par morceaux.

Nous utiliserons les fonctions f1, g1 et h1 suivantes :

1°) Commençons avec la fonction h pour ]4 , + ∞[.

Il existe une fonction Indh, dite indicatrice de l'intervalle ]4 , + ∞[, qui vaut 1 sur cet intervalle, et qui vaut 0 en dehors. Je vous propose une méthode qui permet de trouver une expression algébrique d'une telle fonction, en faisant appel à la fonction « basique » signe.

Soit la fonction h1(x) = x – 4. Il existe une fonction signe sh1, qui donne le signe de h1(x) sur IR :
sh1(x) = 1 si h1(x) > 0, sh1(x) = 0 si h1(x) = 0, et sh1(x) = -1 si h1(x) < 0.

Alors ensuite : « enlevons 1, prenons en à nouveau le signe, et ajoutons 1 ». Suivant le tableau :

En ligne 3 on a les valeurs prises par sh1, signe de x – 4. Ligne 4 : on enlève 1, ligne 5 : on en prend le signe par sh2, et ligne 6 : on ajoute 1, ce qui donne Indh.

La dernière ligne donne la fonction Indh : nulle sur ]- ∞ , 4] et égale à 1 sur ]4 , + ∞[.

Une expression de Indh est donc : Indh(x) = signe(signe(x – 4) – 1) + 1.

2°) Continuons avec la fonction f pour ]- ∞, - 2[.

Il existe une fonction Indf, dite indicatrice de l'intervalle ]- ∞, - 2[, qui vaut 1 sur cet intervalle, et qui vaut 0 en dehors.

Soit la fonction f1(x) =  - x - 2. Il existe une fonction signe sf1, qui donne le signe de f1(x) sur IR.

Alors ensuite : « enlevons 1, prenons-en à nouveau le signe, et ajoutons 1 ». Suivant le tableau :

La dernière ligne donne la fonction Indf : égale à 1 sur ]- ∞ , -2[ et nulle sur [-2 , + ∞[.

D'où : Indf(x) = signe(signe(-x-2) – 1) + 1.

3°) Finissons avec la fonction g pour [- 2, 4].

Cette fois les bornes -2 et 4 doivent donner 1 pour Indg ! Donc +1 en ligne 4 !

On utilise la fonction g1(x) = 3 – abs(x-1).

D'où : Indg(x) = signe(signe(3 - abs(x - 1)) + 1).

On obtient ceci :

On voit que les valeurs 1 se succèdent sur la droite d'équation y = 1, avec les points P et Q en vert, alors que les valeurs 0 se superposent sur l'axe des abscisses.

Enfin avec les fonctions f, g et h, puis p :

Pour la fonction p il n'y a plus de traces nulles sur l'axe des abscisses.

Bonjour Bernard, bonjour à toutes et à tous,

Effectivement, le claquement provient du fait que le bout franchit le mur du son (343 m/s à 20°C) et peut même dépasser Mach 2.

Voici les explications que ChatGPT m'a aimablement fournies :

Moi : A quoi est dû le claquement d'un fouet ? Il semble que le claquement est dû au fait que le bout du fouet atteint une vitesse proche du mur du son ?

Chat : Oui, exactement !
Le claquement d’un fouet est un phénomène physique très étudié, et vous avez bien identifié le point central : l’extrémité du fouet (la lanière, ou “mèche”) dépasse la vitesse du son.

Voici le déroulement :

1. Mouvement initial : quand on lance un fouet, on imprime une accélération à sa base (le manche).
2. Propagation de l’onde : cette accélération se propage le long de la lanière, qui est effilée : son épaisseur et sa masse diminuent vers l’extrémité.
3. Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement : à mesure que l’onde avance vers des parties plus légères, la vitesse augmente, un peu comme quand on fait tourner une corde en la tenant d’un côté : l’extrémité bouge beaucoup plus vite que la main.
4. Vitesse supersonique : les mesures à haute vitesse ont montré que l’extrémité atteint environ Mach 2 (deux fois la vitesse du son).
5. Bang miniature : quand elle franchit la vitesse du son, l’air est comprimé brutalement → on entend un petit bang sonique, ce fameux claquement.

Donc : ce n’est pas la lanière qui frappe sur elle-même ou contre le manche, mais bien une onde de choc supersonique produite par la pointe du fouet.

Anecdote : c’est sans doute le premier “objet fabriqué par l’homme” à avoir dépassé la vitesse du son (bien avant les avions).
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J'ai demandé ensuite quelles doivent être les caractéristiques du fouet pour que sa pointe atteigne Mach 2.
Je vous épargne sa réponse, trop technique.

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Je reviens à ma petite lubie : comment enrichir la fonction initiale $0,8x$ et $\sin x - 0,2x$ pour que sa représentation graphique donne l'impression d'un vrai fouet, avec donc des oscillations amorties ?

Bonjour bridgslam, bonjour tout le monde,

Justement, je me suis plusieurs fois dit que la courbe ne ressemble pas à un vrai fouet dans la mesure où l'amplitude des oscillations est constante. Comment introduire, sans doute en utilisant une fonction exponentielle judicieusement élaborée, une diminution des oscillations, et donc des courbures ??

Ce serait assez fantastique de pouvoir présenter une telle courbe !!

Il m'a semblé aller de soi de vous citer, Jean-Louis, Bernard, Michel et Roro :

« Cette fonction m'a été proposée sur bibmath.net par jelobreuil (forum "Entraide collège-lycée"), discussion « Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$ ».

« Cette fonction m'a été proposée par Bernard-maths (même référence que plus haut) sur la base de la fonction $x$ et $\sin x$ initialement proposée par Michel Coste. »

De même, dans mon item consacré à une fonction définie en $v_0$ mais non dérivable en $v_0$ car présentant un nombre dérivé infini en cette valeur, j'ai cité Roro, qui m'avait appris la très intéressante fonction $f(x) = \dfrac {x}{|x|} \dfrac {1}{\ln |x|}$ , qu'ont appréciée mes relecteurs ;
« Cette fonction m'a été proposée sur bibmath.net par Roro (forum "Entraide collège / lycée", discussion « Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$ »). »

Souhaitez-vous que je conserve ces formulations ?

PS : Au départ, je voulais juste montrer un exemple de fonction par morceaux avec une jonction conservant le nombre dérivé, non nul, les fonctions "cassées" au point de jonction étant trop couramment montrées. Finalement, je montre quatre fonctions, en les expliquant : une fonction $C^0$ "classique", deux fonctions $C^1$ avec des courbures très différentes, et une "fonction-fouet" $C^2$. Merci à vous !!

Bonjour dridgslam, bonjour tout le monde,

Effectivement, j'ai immédiatement pensé à un fouet en voyant le tracé de la courbe sur GeoGebra — mais ne l'avais pas d'emblée associé à Zorro et à Bernardo :-).

Une "fonction-fouet", ce n'est pas vraiment courant !
Merci encore Bernard(o)  :-)

Bonne journée de dimanche à tous !

Bonjour à toutes et à tous,

La fonction proposée par jelobreuil en #10 est particulièrement intéressante — merci encore, Jean-Louis !! — car il faut regarder vraiment attentivement le point de jonction pour déceler qu'il ne correspond pas à une portion rectiligne, et qu'il n'y a donc pas continuité de courbure.

Contrairement aux apparences, Il ne s'agit pas d'un VRAI point d'inflexion !

Je peux donc montrer un exemple de fonction par morceaux dont la courbe ne présente pas de continuité de courbure, mais de façon quasi imperceptible, et une autre fonction par morceaux présentant, elle, une discontinuité de courbure très marquée.

(Imaginez que vous conduisez une voiture ou, pire, une moto, que vous prenez le confortable virage à droite à bonne allure, et qu'en sortie de celui-ci vous découvrez brusquement le virage à gauche... :-)

Bon week-end ensoleillé !

PS : Ah, bon ?! On ne voit en Terminale que la continuité des valeurs ?! pas celle de la dérivée ?! a fortiori pas celle de la dérivée seconde ?!
Heureusement que je ne suis pas soumis à inspection !!  :-)

Bonjour Bernard,

Merci pour ta proposition qui ajoute un peu de fantaisie du fait de la sinusoïde "montante" :

Bonjour Jean-Louis,

Oh que la courbe est jolie !

Merciii Jean-Louis !

Ta fonction me fournit un exemple intermédiaire : une fonction qui n'est pas $C^2$ mais dont la jonction semble douce.