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Deux coniques ont quatre tangentes communes, mais pas forcément quatre tangentes réelles. C'est le dual du fait que deux coniques se coupent en quatre points (Bézout), on peut raisonner sur les équations tangentielles des coniques qui sont aussi de degré 2.
Dans le cas de deux paraboles, il y a une tangente commune que l'on ne voit pas dans le plan affine : c'est la droite de l'infini. Il reste donc trois tangentes communes à trouver. Deux peuvent être complexes conjuguées, mais il en reste toujours au moins une réelle.  Le problème c'est que cette tangente réelle peut être confondue avec la droite de l'infini, pour faire une tangente commune double c.-à-d. que la droite de l'infini est tangente aux deux paraboles au même point. Ce qui veut dire que les directions des axes des deux paraboles sont les mêmes. C'est le seul cas où on peut avoir aucune tangente commune réelle (qui ne soit pas la droite de l'infini).

Bonjour !

Joli problème. Moi je tournais autour d'un trapèze isocèle ...

Pour les paraboles, on trouve 2 tangentes communes, il y a donc 2 solutions, en général !?

Si les paraboles s'intersectent, alors pas de solution ...

B-m

Bonjour,
On veut envoyer $F$ sur $d$ et $F'$ sur $d'$ par une symétrie axiale
On suppose que $F$ n'est pas sur $d$ et que $F'$ n'est pas sur $d'$. Alors on peut trouver une symétrie axiale qui fait le job si et seulement si les paraboles de foyer $F$ (resp. $F'$) et de directrice $d$ (resp. $d'$) ont une tangente commune, et on peut alors prendre cette tangente commune comme axe de symétrie. Si une des paraboles est à l'intérieur de l'autre, il y a un os.