Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir
Maintenant comme ça c'est bon?
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\textbf{Exercice :}

1. Donner les solutions de l'équation (1) :
\[
   z^2 + z + 1 = 0
\]
   sous forme trigonométrique.

2. On considère, dans $\mathbb{C}$, l'équation (2) suivante :
\[
   z^{2n} + z^n + 1 = 0 \quad (\text{où } n \in \mathbb{N}^*)
\]
   
   a. Montrer que les solutions de l'équation (2) peuvent s'écrire sous la forme :
\[
   z_k = e^{i \left(\frac{2\varepsilon}{3n} + \frac{2k\pi}{n}\right)} \quad \text{avec } \varepsilon^2 = 1 \text{ et } k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}
\]
   
   b. Établir que :
\[
   z_0 \times z_1 \times \dots \times z_{n-1} = 1
\]

3. Dans le plan complexe, on donne les points $A(i)$ et $M_k(z_k)$ et l'ensemble :
\[
   (D) = \{ M(z) \text{ du plan tel que } z = (1 + i)\alpha \text{ avec } \alpha \in \mathbb{R} \}
\]

   a. Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. Établir que :
\[
   M(a + ib) \in (AM_k) \iff 1 - b = a \times \cot\left(\frac{\beta_k}{2}\right)
\]
   avec :
\[
   k \in [0, n - 1], \quad \varepsilon^2 = 1, \quad \theta_k = \frac{2\varepsilon\pi}{3n} + \frac{2k\pi}{n} \quad \text{et} \quad \beta_k = \frac{\pi}{2} + \theta_k
\]

   b. Est-il possible d'avoir $z_k = 1$ ?

\end{document}

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\textbf{Exercice (suite) :}

c. En déduire que $(AM_k) \cap (D) \neq \emptyset$.

4. Montrer que :
\[
   M(z) \in (AM_k) \cap (D) \iff z = \frac{1 + i}{1 + \cot\left(\frac{\beta_k}{2}\right)}
\]

5. Prouver que :
\[
   \cot\left(\frac{\beta_k}{2}\right) = \frac{i e^{i\beta_k} + i}{e^{i\beta_k} - 1}
\]

6. En déduire que :
\[
   \frac{1 + i}{1 + \cot\left(\frac{\beta_k}{2}\right)} = \frac{e^{i\theta_k}(i - 1) - (1 + i)}{e^{i\theta_k}(i - 1) + (1 + i)}
\]

7. En déduire que :
\[
   M(z) \in (AM_k) \cap (D) \iff \left\{ \left(\frac{z - i}{1 - z}\right)^n + \left(\frac{1 - z}{z - i}\right)^n = 1 \right\}
\]

\end{document}

Bonsoir,

Ton document avait été réalisé avec un logiciel du type Texmaker, pas pour un forum : certains caractères notamment ne passaient pas...
J'ai donc pris la liberté d'en retoucher la forme...
Avant toute chose
1. Aurais-tu l'obligeance de relire soigneusement le texte modifié afin de vérifier s'i ne manque rien .
2. Si tout est ok, peux-tu répondre de façon précise à la demande de Roro :

1. Montre-nous ce que tu as déjà fait dans les questions précédentes,
2. Mais aussi ce que tu as essayé dans la question 3) et où tu te retrouves bloquée dans les calculs...

Merci d'avance de ta compréhension

       Yoshi
- Modérateur -

Bonjour,

Merci de nous dire ce que tu as essayé et ce qui bloque pour qu'on puisse t'aider efficacement...

Roro.