Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Voilà en fait ce que je voulais écrire...Bezout est vraiment utile et puissant.

$ru+qp=1 \Rightarrow \alpha^{ru+qp} =\alpha^{ru} *  \alpha^{qp} = \alpha $

$ \text{Ainsi} \quad \alpha^{ru} *  \alpha^{qp} =\alpha \Rightarrow
\left(\alpha^r\right)^u=\alpha^{ur}=\alpha  \quad
  \text{car} \ \alpha^{qp} = Id$

Encore merci Michel

Avec plaisir.
Mais je vais te reprendre une nouvelle fois, au risque que tu te sentes harcelé !

Absolument pas, ça ne va pas pour de multiples raisons.
La réciproque de la rotation [tex]\alpha^r[/tex] est simplement [tex]\alpha^{-r}[/tex], ou [tex]\alpha^{p-r}[/tex] si tu préfères.
Ce qui se passe, si [tex]0<r<p[/tex], c'est qu'on a une identité de Bézout [tex]ur+vp=1[/tex] (l'identité de Bézout que tu écris ne fait pas sens). On a alors [tex]\left(\alpha^r\right)^u=\alpha^{ur}=\alpha[/tex], ce qui montre qu'une configuration invariante par [tex]\alpha^r[/tex] l'est forcément aussi par [tex]\alpha[/tex] (je sais, je me répète, mais je ne sais pas si tu l'as bien compris).

Eh bien non, ce que tu écris est incompréhensible pour moi (et ton ur+vr=1 n'arrange rien).
Soit [tex]C[/tex] une configuration. Je reprends ta notation [tex]\alpha[/tex] pour la rotation de [tex]1/p[/tex] tour dans le sens direct.
Soient [tex]q[/tex] et [tex]r[/tex] deux entiers tels que [tex]0\leq q<r<p[/tex], de sorte que [tex]\alpha^q[/tex] et [tex]\alpha^r[/tex] sont deux éléments différents du groupe engendré par [tex]\alpha[/tex]. Si [tex]\alpha^q(C)=\alpha^r(C)[/tex], alors [tex]C=\alpha^{r-q}(C)[/tex] et par l'argument utilisant l'identité de Bézout que j'ai donné plus haut on en déduit [tex]C=\alpha(C)[/tex]. Donc [tex]C[/tex] est invariante par tout le groupe des rotations engendré par [tex]\alpha[/tex], et est une réunion de couronnes.
Non, toujours pas ?

J'ai dit dans mon message précédent qu'une orbite a un nombre d'éléments qui divise p. De manière générale, si G est un groupe fini qui opère sur un ensemble E, toute orbite a un cardinal qui divise l'ordre de G. La raison, comme tu l'as écrit, est que l'orbite d'un x de E est en bijection avec l'ensemble des classes à gauche pour le stabilisateur de x.

Tu fais une confusion de terminologie en parlant de "groupe monoïde". Peut-être veux-tu dire "groupe monogéne" ? En l'occurrence il s'agit ici d'un groupe cyclique (on préfère employer ce terme pour un groupe monogène fini) d'ordre p.

Je me demande si tu as bien lu le second paragraphe de mon précédent message. En tout cas, ta phrase "je dois avouer que j'ai du mal à voir que la rotation de 1/q et 1/r ou q,r <p d'une configuration aboutissent forcément à des résultats différents" ne fait aucun sens. Les rotations considérées sont des rotations d'un angle multiple de 1/p tour (des rotations du groupe cyclique engendré par la rotation de 1/p tour). Relis bien le paragraphe qui commence par "De façon plus terre à terre". Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Je montre que si une configuration est invariante par une rotation d'un angle multiple de 1/p tour différente de l'identité, alors elle est invariante par la rotation de 1/p tour et donc elle est une réunion de couronnes.

Une orbite a un nombre d'éléments qui divise p.
De façon plus terre à terre : si une configuration est invariante par une rotation de k/p tour avec 0<k<p, alors comme k est premier avec p et que donc on a une identité de Bézout uk+vp=1, elle est invariante par une rotation de 1/p tour.  (répéter u fois la rotation de k/p tour).

Il semble que tu as plus besoin de visulisation que de formalisation.
p=3, a=5, b=2.
Le grand disque est divisé en pa (=15) régions, on en choisit pb (=6).
Il y a [tex]\binom{pa}{pb}[/tex] configurations possibles. En voici une :

Cette configuration donne p configurations différentes par rotations d'1/p  tour.
Par contre il y a des configurations invariantes par rotation d'1/p tour, comme

Le choix d'une telle configuration est le choix de b couronnes entre cercles parmi a, où on pose les points. Il y en a [tex]\binom{a}{b}[/tex].

Merci pour le lien, la démonstration combinatoire est superbe. Je ne dirais pas que c'est une démonstration probabuiliste : en fait, elle fait intervenir une action de groupe (le groupe cyclique engendré par une rotation d'ordre p) et le décompte des orbites de cette action sur l'ensemble des choix de pb régions parmi les pa délimitées dans a couronnes concentriques  par p rayons découpant des secteurs circulaires d'angle 2*pi/p.

J'ai pas mis le lien en raison de pb technique (il me dit que c un spam).

Voici le lien "enrobé" (le filtre antispam bloque certains termes)
math puis stacque echange
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ou bien tu tapes sur google
(pa pb) mod p

c'est le 3eme resultat