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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Vincent62
- 02-08-2022 13:23:50
ah oui merci ^^ Il me semblait que l'on avait toujours [tex]\overline{\overline{X}}=X[/tex]...
- Eust_4che
- 02-08-2022 11:56:31
Pourquoi avoir écrit $\complement A = \overline{ \overline{\complement A}}$ ? Le problème vient de là. C'est tout simplement faux. On a $\overline{\complement A} = \overline{ \overline{ \complement A}}$, puisque $\overline{ \complement A}$ est un fermé de ton espace topologique, mais $\complement A \neq \overline{ \complement A}$.
- Vincent62
- 02-08-2022 10:51:02
Merci Eust_4che, et merci beaucoup.
On a donc par définition : [tex]\partial \mathring{A}=\overline{\mathring{A}}\cap \overline{\complement \mathring{A}}[/tex].
Soit [tex]a\in \partial \mathring{A}[/tex]. Alors d'une part, [tex]a\in\overline{\mathring{A}}[/tex] et donc [tex]a\in \overline{A}[/tex] car [tex]\mathring{A}\subset A[/tex], et d'autre part, [tex]a\in \overline{\complement \mathring{A}}[/tex].
Or, [tex]\complement \mathring{A}=\overline{\complement A}[/tex], donc [tex]\overline{\complement \mathring{A}}=\overline{\overline{\complement A}}=\complement A[/tex].
Finalement, [tex]a\in \complement A[/tex].
Je pense qu'il y a un souci dans mon raisonnement, car je ne peux pas utiliser ce que tu proposes, à savoir montrer que si a est adhérent à l'adhérence du complémentaire de [tex]A[/tex], alors il est adhérent au complémentaire de [tex]A[/tex].
Est-ce que tu vois ce qui coinces ?
Merci :)
- Eust_4che
- 01-08-2022 15:34:15
Bonjour,
La frontière $\partial \mathring{A}$ se compose de l'ensemble des points qui sont adhérents à $\mathring{A}$, donc à $A$, ainsi qu'à $\overline{\complement A}$, car $\overline{\complement A} = \complement \mathring{A}$. Mais si un point est adhérent à $\overline{\complement A}$, il est aussi adhérent à $\complement A$ !
Il te suffit donc de démontrer cette dernière partie pour conclure.
E.
PS : la commande pour l'intérieur d'un ensemble est "\mathring{}" en Latex
- Vincent62
- 01-08-2022 13:43:25
Bonjour,
Je tourne en rond. Je note [tex]int(A)[/tex] l'intérieur de [tex]A[/tex].
Comment démarrer pour démontrer que pour une partie A d'un espace métrique [tex](X,d)[/tex], on a [tex]fr(int(A))\subset fr(A)[/tex] ?
Il s'agit donc de démontrer que [tex]\bar{(int(A))}\cap \bar{(int(A)^c)} \subset \bar{A}\cap \bar{A^c}[/tex].
J'ai utilisé toutes les formules que je connaissais. J'ai essayé de partir de [tex]int(A)\subset A[/tex], de [tex]int(A)=A\cap (fr(A))^c[/tex], de passer au complémentaire, de passer aux intérieurs... Bref, j'aurais besoin d'un coup de pouce.
Merci infiniment !