Formulaire de Mathématiques : Transformée de Laplace

Définition

Si $f$ est une fonction localement intégrable, définie sur $[0,+\infty[,$ on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction : $$\mathcal Lf(z)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-zt}dt.$$ En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout $z$. On appelle abscisse de convergence absolue de la transformée de Laplace le réel : $$\sigma_a(\mathcal Lf)=\inf\left\{\sigma\in\mathbb R:\ \mathcal Lf(\sigma)\textrm{ converge absolument}\right\}.$$ Eventuellement, on peut avoir $\sigma_a(\mathcal Lf)=\pm\infty.$ On montre alors que, si $\Re e(z)>\sigma_a(\mathcal Lf)$, l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-zt}dt$ converge absolument. La fonction $\mathcal Lf$ est alors définie, et même holomorphe, dans le demi-plan $\left\{z\in\mathbb C:\ \Re e(z)>\sigma_a(\mathcal Lf)\right\}.$

Transformées de Laplace usuelles

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textrm{fonction} & \textrm{transformée de Laplace} & \textrm{abscisse de convergence} \\ \hline e^{at} & \dfrac{1}{z - a} & \Re e(a) \\ \hline \sin(at) & \dfrac{a}{z^2 + a^2} & |\Im m(a)| \\ \hline \cos(at) & \dfrac{z}{z^2 + a^2} & |\Im m(a)| \\ \hline t^n & \dfrac{n!}{z^{n+1}} & 0 \\ \hline t^n e^{at} & \dfrac{n!}{(z - a)^{n+1}} & |\Im m(a)| \\ \hline \sinh(at) & \dfrac{a}{z^2 - a^2} & |\Re e(a)| \\ \hline \cosh(at) & \dfrac{z}{z^2 - a^2} & |\Re e(a)| \\ \hline t^a, \quad \Re(a) > -1 & \dfrac{\Gamma(a+1)}{z^{a+1}} & 0 \\ \hline \end{array} $$

Règles de calcul

Soit $f$ (resp. $g$) une fonction, $F$ (resp. $G$) sa transformée de Laplace, d'abscisse de convergence $\sigma$ (resp. $\sigma'$)

$$ \begin{array}{c|c|c} \textrm{fonction}&\textrm{tranformée}&\textrm{abscisse de }\\ &\textrm{de Laplace}&\textrm{convergence}\\ \hline f(kt)&\frac1kF\left(\frac zk\right)&k\sigma\\ e^{at}f(t)&F(z-a)&\sigma-\Re e(a)\\ f(t-t_0)&e^{-zt_0}F(z)&\sigma\\ t^n f(t)&(-1)^n F^{(n)}(z)&\sigma\\ f\star g&F(z)G(z)&\sup(\sigma,\sigma')\\ f'&zF-\lim_{0^+}f&\sigma\\ t\mapsto\int_0^t f(x)dx&\frac{F(z)}z&\max(0,\sigma)\\ \frac{f(t)}{t}&\int_x^{+\infty}F(u)du&x>\sigma \end{array}$$

Propriétés

Sous réserve de certaines conditions sur la fonction f, on a :

\begin{align*} \int_0^{+\infty} f(t) \, dt &= \int_0^{+\infty} F(u) \, du \\ \\ \lim_{0^+} f &= \lim_{+\infty} x F(x) \\ \\ \lim_{+\infty} f &= \lim_{0^+} x F(x) \end{align*}

Inversion de la transformée de Laplace

Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les règles précédentes, en lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose, et on cherche dans les tables.

On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace.

Théorème (formule d'inversion de Bromvitch) : Soit $F(z)=F(x+iy)$, analytique pour $x>x_0$, une fonction sommable en $y$, pour tout $x>x_0$. Alors $F$ est une transformée de Laplace, dont l'original est donné par : $$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x + iy) e^{(x + iy)t} dy.$$

Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.