Formulaire de Mathématiques : Transformée de Fourier

Définition

Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par : $$\hat{f}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ixt} f(x) \, dx.$$

Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition : $$\hat{f}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix(2\pi t)} f(x) \, dx.$$ Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après.

Propriétés

Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant :

$$ \begin{array}{c|c} \textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\ \hline f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\ f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\ (-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\ f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\ f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\ f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\ f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t). \end{array}$$ En outre, pour tout $f$ de $L^1(\mathbb R)$, on prouve que $\hat f$ est continue et que $\hat f$ tend vers 0 en l'infini. Enfin, si f est $\mathcal C^k$, il existe une constante $A>0$ telle que : $$\forall x\in \mathbb R,\ |\hat f(x)|\leq \frac A{(1+|x|)^p}.$$ On dit que la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini.

Transformées de Fourier classiques

$$ \begin{array}{c|c} \text{fonction} & \text{transformée de Fourier} \\ \hline \rule{0pt}{30pt} \displaystyle e^{-a|x|} & \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{t^2 + a^2} \\[0.5cm] \displaystyle e^{-a^2x^2} & \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{2}} e^{-\frac{t^2}{4a^2}} \\[0.5cm] f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } |x| \leq L \\ 0 & \text{si } |x| > L \end{cases} & \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin(Lt)}{t} \\ \end{array} $$

Inversion de la transformée de Fourier

Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver $f$ en connaissant $\hat f$.

Théorème : Si $f$ et $\hat f$ sont tous deux dans $L^1(\mathbb R)$, on pose : $$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ixt} \hat{f}(t) \, dt.$$ Alors $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$, et $g=f$ presque partout.

On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.