Formulaire de Mathématiques : Fonctions de Bessel
Définition
Pour $\nu$ un réel postif, on pose : \[ J_\nu(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^\nu \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\,\Gamma(p+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \] \[ J_{-\nu}(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{-\nu} \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!\,\Gamma(p+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \] Ces deux fonctions sont des solutions particulières de l'équation de Bessel : \[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \] Elles en forment une base de solutions quand $\nu$ n'est pas entier.
Propriétés
- Relation de récurrence : \[ J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x) \]
- Ordres 1/2 entiers : \[ J_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x \] \[ J_{-1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x \] \[ J_{3/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left( \frac{\sin x}{x}-\cos x \right) \]
- Comportement à l'infini : \[ J_\nu(x) =_{+\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\!\left(x-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) +O\left(x^{-3/2}\right). \]
- Représentation intégrale : \begin{align*} J_\nu(x)& = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\nu t - x\sin t)\,dt \\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi} \, \Gamma\left(\nu + \frac{1}{2}\right)} \left(\frac{x}{2}\right)^\nu \int_0^1 \cos(xt) \, (1 - t^2)^{\nu - \frac{1}{2}} \, dt. \end{align*}