Principe du tiers exclu
Le principe du tiers exclu est une des lois fondamentales de la logique. Il affirme que si $P$ est une proposition, alors ou $P$ est vraie, ou sa négation $\textrm{non }P$ est vraie.
Exemple :
Démontrons qu'il existe deux irrationnels $a$ et $b$ tels que $a^b$ est rationnel. On note $P$ la propriété $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ est rationnel. Alors
- si $P$ est vraie, alors les rationnels $a=b=\sqrt 2$ conviennent.
- si $P$ est fausse, alors les rationnels $a=\sqrt 2^{\sqrt 2}$ et $b=\sqrt 2$ puisque $$a^b=\left(\sqrt 2^{\sqrt 2}\right)^{\sqrt 2}=\sqrt{2}^{\sqrt 2\times \sqrt 2}=\sqrt 2^2=2.$$
Par le principe du tiers exclu, on a démontré le résultat annoncé.
Remarquons que le principe du tiers exclu donne lieu à des preuves qui ne sont pas constructives, comme dans l'exemple ci-dessus. C'est pourquoi il est contesté par les mathématiciens intuitionnistes (Poincaré, Brouwer).
En logique classique, le principe du tiers exclu signifie que pour toute proposition $P,$ la proposition $P \textrm{ ou non }P$ est vraie. Ainsi, sa négation $\textrm{non }P\textrm{ et }P$ est fausse : une proposition et sa négation ne peuvent pas être simultanément vraies, c'est le principe de non-contradiction.