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Table de Cayley
La table de Cayley d’un groupe fini $G$ est la table de multiplication de ce groupe.
Il s'agit d'un tableau dont chaque colonne et chaque ligne représente un des éléments du groupe. A l'intersection
de la ligne représentant $a$ et de la colonne représentant $b$ on écrit la valeur du produit $ab$
(elle peut être différente de $ba$ si le groupe n'est pas commutatif). Par exemple, si le groupe a trois éléments $a,b,c$, la table de
Cayley correspondante est :
| | $a$ | $b$ | $c$ |
| $a$ | $a^2$ | $ab$ | $ac$ |
| $b$ | $ba$ | $b^2$ | $bc$ |
| $c$ | $ca$ | $cb$ | $c^2$ |
Exemple : table de Cayley de $\mathbb Z/4\mathbb Z$.
| | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $0$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $3$ | $0$ | $1$ |
| $3$ | $3$ | $0$ | $1$ | $2$ |
Exemple : table de Cayley de $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$.
| | $(0,0)$ | $(1,0)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ |
| $(0,0)$ | $(0,0)$ | $(1,0)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ |
| $(1,0)$ | $(1,0)$ | $(0,0)$ | $(1,1)$ | $(0,1)$ |
| $(0,1)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ | $(0,0)$ | $(1,0)$ |
| $(1,1)$ | $(1,1)$ | $(0,1)$ | $(1,0)$ | $(0,0)$ |
On peut lire les propriétés du groupe sur la table de Cayley. Par exemple, le groupe est commutatif si le tableau est symétrique
par rapport à sa diagonale principale.
Ces tables portent le nom du mathématicien Arthur Cayley, le premier à avoir formalisé
la structure de groupe fini. Ces tables apparaissent pour la première fois dans ces travaux en 1854.
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