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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Matrices >

Matrices semblables

On dit que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal M_n(K)$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(K)$ telle que $A=PBP^{-1}$. En particulier, si deux matrices sont semblables, elles sont équivalentes.

Deux matrices semblables sont la représentation d'un même endomorphisme $u$ dans des bases (éventuellement) différentes. Le travail principal de la réduction des matrices (ou des endomorphismes) consiste à trouver la matrice la plus simple possible semblable à une matrice donnée.

Théorème : Deux matrices semblables ont le même rang, le même polynôme caractéristique (donc en particulier le même déterminant, les mêmes valeurs propres, la même trace), le même polynôme minimal.
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