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Propriété presque sûrement vraie

Soit $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré (par exemple un espace de probabilité) et $\mathcal P$ une propriété que peuvent vérifier ou non les éléments de $\Omega.$ On pose $$A=\{\omega\in\Omega:\ \omega\textrm{ vérifie }\mathcal P\}.$$ Si $\mu(A^c)=0,$ on dit que la propriété $\mathcal P$ est vraie presque partout ou vraie pour presque tout $\omega\in\Omega.$ Si $\mu$ est une mesure de probabilité, on dit que la propriété $\mathcal P$ est vraie presque sûrement.

Ex : On lance un dé à 6 faces parfaitement équilibré, et on répète les lancers jusqu'à obtenir un 6. Alors, presque sûrement, on ne lance qu'un nombre fini de fois le dé.

Cela signifie qu'il n'est pas impossible, en théorie, d'être très malchanceux et de n'obtenir jamais de 6. Mais en pratique, cela ne se produit jamais.

Prouvons ce résultat : soit $F$ l'événement "On n'effectue qu'un nombre fini de lancers", et $G$ l'événement contraire. Soit $A_n$ l'événement "Au cours des $n$ premiers lancers, on n'obtient pas de 6". Clairement, les événements $A_n$ sont décroissants, et $P(A_n)=(5/6)^n.$ Maintenant $$G=\bigcap_{n\geq 1}A_n\implies P(G)=P\left(\bigcap_{n\geq A}A_n\right)=\lim_{n\to+\infty}P(A_n)=0.$$ On obtient que $G$ est un événement négligeable : on effectue presque sûrement un nombre fini de lancers.

On parle souvent de convergence presque partout ou de convergence presque sûre. Si $f,f_n:\Omega\to E$, la suite $(f_n)$ converge presque sûrement vers $f$ si, pour presque tout $\omega\in\Omega,$ $f_n(\omega)$ tend vers $f(\omega).$

Théorème : Si $(f_n)$ converge en mesure vers $f,$ ou si $(f_n)$ converge vers $f$ dans $L^p(\Omega),$ $p\geq 1,$ alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})$ qui converge presque partout vers $f.$ Réciproquement, si la suite $(f_n)$ converge presque partout vers $f$ et si la mesure est finie, alors la suite $(f_n)$ converge en mesure vers $f.$

L'exemple des bosses glissantes démontre qu'on ne peut pas déduire la convergence presque partout d'une suite de fonctions de sa convergence en mesure.

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