Intégrale de Lebesgue

Il est difficile de décrire en quelques mots ce qu'est l'intégrale de Lebesgue, une construction de cette intégrale nécessitant un vrai cours. Néanmoins, nous pouvons donner ici quelques idées de la différence entre l'intégrale de Lebesgue et les intégrales de Riemann et de Cauchy pour une fonction continue $f:[a,b]\to\mathbb R_+.$ L'idée est à chaque fois d'approcher l'aire comprise entre la courbe représentative de $f,$ les droites $x=a$ et $x=b,$ et l'axe des ordonnées.

Dans l'intégrale de Cauchy ou de Riemann, on approche cette aire en effectuant un découpage de l'intervalle de départ $[a,b]$. On le coupe en $N$ petits segments $[x_i,x_{i+1}]$ de taille $(b-a)/N)$, $1\leq i\leq N$, et on dit que l'aire est proche de la somme des aires des rectangles définis par les points $(x_i,0),$ $(x_i,f(x_i))$, $(x_{i+1},f(x_i)),$ $(x_{i+1},0)$. Un peu plus précisément, on définit $$\int_a^b f(t)dt=\lim_{N\to+\infty} \sum_{i=1}^N (x_{i+1}-x_i)f(x_i)$$ mais il faut bien sûr démontrer que cette limite existe.

Dans l'intégrale de Lebesgue, on ne fait pas un découpage de $[a,b]$, mais un découpage de l'image $f([a,b])$. On le coupe en petits segments $[y_i,y_{i+1}]$, $1\leq i\leq N$, et on remarque que l'aire définie précédemment peut être approchée par $$\sum_{i=1}^N m(E_i) y_i$$ où $E_i=\{x\in [a,b]:\ y_i\leq f(x)\leq y_{i+1}\}$ et $m$ désigne la mesure de Lebesgue. Il faut alors démontrer que ceci admet également une limite lorsque $N$ tend vers $+\infty.$

Par ailleurs, l'intégrale de Lebesgue peut être utilisée non seulement sur les fonctions continues par morceaux, ou sur les fonctions réglées, mais sur la classe beaucoup plus large des fonctions mesurables. Cela a notamment les deux avantages suivants :

L'intégrale de Lebesgue est vraiment un outil majeur de l'analyse moderne. Elle a permis de nombreux progrès, notamment en analyse de Fourier.

Voyons ce que dit Lebesgue lui-même à propos de son intégrale, dans des propos rapportés par A. Denjoy, L. Félix et P. Montel dans Henri Lebesgue, le savant, le professeur, l'homme, l'Enseignement Mathématique (3), 1957.

Je dois payer une certaine somme; je fouille dans mes poches et j'en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l'ordre où elles se présentent jusqu'à atteindre le total de ma dette. C'est l'intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables, et j'effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C'est mon intégrale.