Inégalité de Knopp

L'inégalité de Knopp est une version continue de l'inégalité de Carleman qui s'énonce ainsi : soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux, positive, intégrable. Alors $x\mapsto \exp\left(\frac 1x\int_0^x \ln(f(t))dt\right)$ est intégrable sur $]0,+\infty[$ et $$\int_0^{+\infty}\exp\left(\frac 1x\int_0^x \ln(f(t))dt\right)dx\leq e\int_0^{+\infty}f(t)dt.$$