Inégalité de Huygens

L'inégalité de Huygens est le résultat suivant : pour tout $x\in[0,\pi/2[,$ $$x\leq \frac 23\sin(x)+\frac 13\tan(x).$$ Cette inégalité a l'interprétation géométrique suivante : dans le dessin ci-dessous, la longueur de l'arc $BC$ est inférieure à la moyenne pondérée de la longueur $CD$ affectée du coefficient $2$ et de la longueur $BE$ affectée du coefficient $1$.

Cette formule semble énoncée pour la fois par Willebrord Snell, dans son ouvrage Cyclometria, qui date de 1621. La première démonstration rigoureuse est due à Huygens dans son ouvrage de 1654 intitulé Circuli dimensione. En l'appliquant à $x=\pi/n,$ où $n$ est un entier, il en déduit des approximations du nombre $\pi.$