Différentielle de Gateaux

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $f$ une application d'un ouvert $U$ de $E$ à valeurs dans $F$. On dit que f est différentiable au sens de Gateaux au point $a\in U$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que, pour tout $v\in E$, $$\lim_{t\to 0}\frac1t\big(f(a+tv)-f(a)\big)=L(v).$$ $L$ est alors appelée la différentielle de Gateaux de $f$ en $a$.

Cette notion est plus faible que la notion usuelle de différentiabilité, aussi appelée différentiabilité au sens de Fréchet. Pour distinguer différentiabilité au sens de Gateaux et de Fréchet, on peut considérer pour $v\neq 0$ les fonctions \[ \Delta_v(t) = \frac{f(x + tv) - f(x) - tL(v)}{t\|v\|}. \] L'application linéaire \( L \in \mathcal{L}(E, F) \) est la différentielle au sens de Gateaux de \( f \) en \( x \) si et seulement si chacune des fonctions \( \Delta_v \) tend vers $0$ en $0.$ L'application linéaire \( L \in \mathcal{L}(E, F) \) est la différentielle au sens de Fréchet de \( f \) en \( x \) si et seulement si les fonctions \( \Delta_v, v \in S_E \) tendent uniformément vers $0$ en $0$ (où \( S_E \) est la sphère unité de \( E \)).

Cette notion de différentiabilité a été introduite par Gateaux en 1913 afin d'établir une théorie de l'intégration en dimension infinie.