Théorème de Floquet
On considère une équation différentielle linéaire $X'(t)=A(t)X(t)$ où $A:\mathbb R\to\mathcal L(\mathbb R^n)$ est continue et $T$-périodique. Il est bien entendu naturel de se poser la question de l'existence de solutions $T$-périodiques à cette équation différentielle. Le théorème de Floquet dit que toute solution de cette équation différentielle s'exprime comme somme de fonctions $T$-périodiques atténuée ou amplifiée exponentiellement.
Théorème : Soit $A:\mathbb R\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ une application continue et $T$-périodique.
Alors il existe $Q:\mathbb R\to GL_n(\mathbb R)$ une application continue et $T$-périodique et une matrice constante $\Lambda$ tels
que les solutions de l'équation $X'(t)=A(t)X(t)$ sont les fonctions $X(t)=Q(t)\exp(t\Lambda)X_0$, où $X_0$ est un vecteur de $\mathbb R^n$.
Les valeurs propres de la matrice $\exp(\Lambda T)$ sont appelés les multiplicateurs de Floquet du problème. Leur connaissance permet de savoir s'il existe des solutions stables à l'équation différentielle :
- si tous les multiplicateurs de Floquet ont un module supérieur strict à $1$, aucune solution n'est stable, à part la solution nulle.
- si un des multiplicateurs de Floquet a un module inférieur ou égal à 1, alors il existe des solutions stables non nulles.
- si tous les multiplicateurs de Floquet ont un module inférieur ou égal à 1, alors toutes les solutions sont stables.
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