Dilatation

Soit $E$ un espace vectoriel, $H$ un hyperplan de $E$ et $D$ une droite vectorielle qui n'est pas contenue dans $H$, de sorte que $H$ et $D$ sont supplémentaires. Soit également $\lambda$ un réel non nul. On appelle dilatation de base $H$, de direction $D$ et de rapport $\lambda$ l'application linéaire $\varphi$ définie sur $E=H\oplus D$ par $\varphi(x)=x$ si $x\in H$ et $\varphi(x)=\lambda x$ si $x\in D$. Autrement dit, une dilatation est une affinité dont la base est un hyperplan.

Dans une base $(e_1,\dots,e_n)$ où $e_i$ est un vecteur de $D$ et où les autres $e_k,$ $k\neq i$, sont des vecteurs de $H$, la matrice de $\varphi$ a pour forme $$\begin{pmatrix} 1&0&\dots&&0\\ 0&\ddots&\cdots&&0\\ \vdots&\cdots&\lambda&\cdots&\vdots\\ &&&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&&\cdots&1 \end{pmatrix} $$ On retrouve donc une matrice de dilatation.