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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Modes de convergence et théorèmes limites >

Théorème de de Moivre-Laplace

Théorème : Soient $p\in]0,1[$ un réel fixé et soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires, telle que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$. Posons $$Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}.$$ Alors, pour tous réels $a$ et $b$ $$P(Z_n\in[a,b])\xrightarrow{n\to+\infty}\int_a^b \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx.$$

Ce théorème est un cas particulier du théorème central limite. Il justifie les approximations des lois binomiales par la loi normale, qui est plus commode à manipuler numériquement grâce à la table de la loi normale.

En pratique, on convient d'approcher la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ par la loi normale $\mathcal N(np,\sqrt{np(1-p)}$ lorsque $n\geq 30,$ $np\geq 5$ et $np(1-p)\geq 5.$ La figure suivante montre la qualité de l'approximation lorsque $n=50$ et $p=0,\!4.$ La courbe en rouge est la fonction de densité de la loi $\mathcal N(50,0,\!4)$ alors que chaque histogramme a pour hauteur $P(X=k)$ avec $X\sim \mathcal B(50,0,\!4)$. Si une variable aléatoire $Y$ admet une densité $f,$ alors on a "approximativement" (c'est la méthode des rectangles, ou plus précisément du point milieu), $$P(Y=k)\simeq \int_{k-1/2}^{k+1/2}f(t)dt.$$

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